大阪大学 後期理系 1997年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 1997年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{delarray} \usepackage{graphicx} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\,\,\, E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ とし, $p,\,\,q$ を実数とする.\smallskip 自然数 $n$ に対して行列 % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}$ を % $\begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} = A^{2n} + pA^n + qE$ で定める.\smallskip このとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n = 2m\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき, $A^n = (-1)^m E$ および $b_n = 0$ が成り立つことを示せ. \item  $n = 2m + 1\,\,\,(mは整数)$ と書けるとき, $A^n = (-1)^mA$ および $b_n = (-1)^m p$ が成り立つことを示せ. \end{enumerate}  次に, 実数 $r > 1$ に対して $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n} = \sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ \smallskip% が成り立つような $p,\,\,q$ の値をそれぞれ $p(r),\,\,q(r)$ とする. \begin{enumerate} \item[(3)]  $p(r) = 0$ を示せ. \item[(4)]  $q(r)$ を $r$ を用いて表せ. \item[(5)]  $\lim\limits_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdotss q(2n)\}$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ より \begin{align*} A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\!\! \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -E \end{align*} よって $n = 2m$ のとき \begin{gather*} A^n = (A^{2})^m = (-E)^m = (-1)^mE \\ A^{2n} = (A^n)^2 = \{(-1)^mE\}^2 = E \end{gather*} ゆえに, \begin{align*} \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} &= E + p \cdot (-1)^mE + qE \\ &= \{1 + (-1)^mp + q\}\! \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} \vspace*{-4mm} \begin{align*} \therefore \,\,\, b_n = \{1 + (-1)^m p + q\} \cdot 0 = 0 \tag*{■} \end{align*} \item  (1)の計算より $n = 2m + 1$ のとき \begin{gather*} A^n = A^{2m}A = (-E)^mA = (-1)^m EA = (-1)^mA \\ A^{2n} = (A^n)^2 = \{(-1)^m A\}^2 = (-1)^{2m} A^2 = -E \quad (\,\because \,\,\,A^2 = -E) \end{gather*} だから \begin{align*} \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix} &= -E + p \cdot (-1)^mA + qE \\ &= (-1)^m p\! \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + (q - 1)\! \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \vspace{-4mm} \begin{align*} \therefore \,\,\, b_n = (-1)^m p + (q - 1) \cdot 0 = (-1)^m p \tag*{■} \end{align*} \item  $p(r)$ を $p$,$q(r)$ を $q$ と略記する. (1),\,\,(2)の結果より, \begin{align*} b_n = \left\{ \begin{array}{ll} \smallskip 0 & (n = 2mのとき) \\ (-1)^mp & (n = 2m + 1のとき) \end{array} \right. \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} また,\MARU{1},\,\,\MARU{2}の両辺の$(1,\,\,1)$成分を比較して, \begin{align*} a_n = \left\{ \begin{array}{ll} \smallskip 1 + (-1)^m p + q & (n = 2mのとき) \\ q - 1 & (n = 2m + 1のとき) \end{array} \right. \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} $r > 1$ より $0 < \dfrac{1}{r} < 1$. よって\MARU{3}より, \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{b_n}{r^n} &= -\frac{p}{r} + \frac{p^3}{r^3} - \frac{p^5}{r^5} + \frac{p^7}{r^7} - \cdotss = \sum_{m = 0} \frac{p}{r}\!\left(-\frac{1}{r^2} \right)^{\!\! m} \displaybreak[0] \\[1mm] &= \frac{p}{r} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\dfrac{1}{r^2} \right)} = \frac{pr}{r^2 + 1} \end{align*} $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{b_n}{r^n} = 0$ だから, \begin{align*} \frac{pr}{r^2 + 1} = 0 \qquad \therefore \,\,\, p = p(r) = 0 \tag*{$\cdott\MARU{5}\,\,\,■$} \end{align*} \item  \MARU{4},\,\,\MARU{5}より \begin{align*} a_n = \left\{ \begin{array}{ll} \smallskip q + 1 & (n = 2m) \\ q - 1 & (n = 2m + 1) \end{array} \right. \qquad \therefore \,\,\, a_n = q + (-1)^n \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{align*} \MARU{6}および$0 < \dfrac{1}{r} < 1,\,\,\,{-1} < -\dfrac{1}{r} < 0$ から, \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{a_n}{r^n} &= \sum_{n = 1}^\infty \left\{\frac{q}{r^n} + \left(-\frac{1}{r} \right)^{\!\! n} \right\} = \frac{q \cdot \dfrac{1}{\mathstrut r}} {\,1 - \dfrac{\mathstrut 1}{r}\,} + \frac{-\dfrac{1}{\mathstrut r}} {\,1 - \left(-\dfrac{1}{r} \right)\,} \\[1mm] &= \frac{q}{r - 1} - \frac{1}{r + 1} \end{align*} $\sum\limits_{n = 1}^\infty \dfrac{a_n}{r^n} = 0$ だから, \begin{align*} \frac{q}{r - 1} - \frac{1}{r + 1} = 0 \qquad \therefore \,\,\, q(r) = q = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{r - 1}{r + 1} }} \tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{7}$} \end{align*} \item  \MARU{7}より \begin{align*} q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdots q(2n) &= \frac{2-1}{2+1} \cdot \frac{4-1}{4+1} \cdot \frac{6-1}{6+1} \cdots \frac{2n-3}{2n-1} \cdot \frac{2n-1}{2n+1} \\[1mm] &= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdots \frac{2n-3}{2n-1} \cdot \frac{2n-1}{2n+1} \\[1mm] &= \frac{1}{2n+1} \end{align*} \vspace{-4mm} \begin{align*} \therefore \,\,\, \lim_{n \to \infty} n\{q(2) \cdot q(4) \cdot q(6) \cdots q(2n)\} &= \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{2n + 1} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}