名古屋大学 前期理系 1995年度 問2

問題へ戻る

解答作成者: 岩沢 潔

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 1995年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

% Converted from Microsoft Word to LaTeX % by Chikrii Softlab Word2TeX converter (version 4.0) % Copyright (C) 1999-2007 Chikrii Softlab. All rights reserved. % http://www.chikrii.com % mailto: info@chikrii.com % License: CSL#004038 \documentclass{article} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \begin{document} \noindent 理\fbox{2} \begin{FRAME} 0以上の整数$k$に対し,$S_k (n)=1^k+2^k+\cdots \cdots +n^k$ とおく。 \begin{enumerate} \item 等式 $(n+1)^5=1+\sum\limits_{k=0}^4 {_5 C_k S_k (n)} $ がすべての正の整数$n$について成り立つことを示せ。 \item $n$の5次多項式として$S_4 (n)$を求めよ。 \end{enumerate} \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent 理\fbox{2}【解答】 \begin{enumerate} \item $S_k (n)=\sum\limits_{t=1}^n {t^k} $ であるから $1+\sum\limits_{k=0}^4 {_5 C_k S_k (n)} =1+\sum\limits_{k=0}^4 {_5 C_k } \left( {\sum\limits_{t=1}^n {t^k} } \right)$ $=1+\sum\limits_{t=1}^n {\left( {\sum\limits_{k=0}^4 {_5 C_k } t^k} \right)} $ $=1+\sum\limits_{t=1}^n {\left\{ {(1+t)^5-t^5} \right\}} =1+(n+1)^5-1=(n+1)^5$ 以上より成り立つ。 \item (1)より \[ (n+1)^5 =1+_5 C_0 S_0 (n)+_5 C_1 S_1 (n)+_5 C_2 S_2 (n)+_5 C_3 S_3 (n)+_5 C_4 S_4 (n) \] ここで $S_0 (n)=n$,$\displaystyle S_1 (n)=\frac{1}{2}n(n+1)$,$\displaystyle S_2 (n)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$,$S_3 (n)=\left\{ {\frac{1}{2}n(n+1)} \right\}^2$ であるから \[ \displaystyle (n+1)^5 =1+n+\frac{5}{2}n(n+1)+\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)+\frac{5}{2}n^2(n+1)^2+5S_4 (n) \] $\displaystyle\therefore S_4 (n)=\frac{1}{5}n^5+\frac{1}{2}n^4+\frac{1}{3}n^3-\frac{1}{30}n$ \end{enumerate} \noindent【注】 \[ (t+1)^5-t^5= =_5 C_4 t^4+_5 C_3 t^3+_5 C_2 t^2+_5 C_1 t+_5 C_0 \] 上式で $t=\,1\,,\,2\,,\,\cdots \cdots \,,\,n$ としたものを辺々加えると(1)の等式を得る。上の解答ではシグマ記号の順序交換によって,この作業を自動的に行っている。 \end{document}