名古屋大学 前期理系 1996年度 問5

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解答作成者: 岩沢 潔

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問5
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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% Converted from Microsoft Word to LaTeX % by Chikrii Softlab Word2TeX converter (version 4.0) % Copyright (C) 1999-2007 Chikrii Softlab. All rights reserved. % http://www.chikrii.com % mailto: info@chikrii.com % License: CSL#004038 \documentclass{article} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \usepackage{paralist} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \newcommand{\qed}{\begin{flushright}$\square$\end{flushright}} \begin{document} \noindent 選択問題\fbox{4}(b) \noindent\fbox{4}(b) \begin{FRAME} $f_0 (x)=1$,$f_1 (x)=1-x$,{\ldots}{\ldots},$\displaystyle f_n (x)=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1)^nx^n}{n!}$,{\ldots} とおく。このとき,次を示せ。 \begin{enumerate} \item $n\ge 1$ のとき,$f_n ^\prime (x)=-f_{n-1} (x)$ である。 \item $x\ge 0$ とする。$n$が偶数なら$f_n (x)\ge e^{-x}$,$n$が奇数なら$f_n (x)\le e^{-x}$ が成立する。 \item $n$が奇数のとき,$f_n (x)=0$ は $x\ge 0$ の範囲でただ1つの解をもつ。 \end{enumerate} \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent 理\fbox{4}(b)【解答】 \begin{enumerate} \item $\displaystyle f_n ^\prime (x)=0-1+\frac{2x}{2!}-\frac{3x^2}{3!}+\cdots \cdots +\frac{(-1)^nnx^{n-1}}{n!}=-1+\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}+\cdots \cdots -\frac{(-1)^{n-1}x^{n-1}}{(n-1)!}$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\displaystyle =-\left\{ {\displaystyle 1-x+\frac{x^2}{2!}-\cdots \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^{n-1}}{(n-1)!}} \right\}=-f_{n-1} (x)$ \item $F_n (x)=f_n (x)-e^{-x}$($x\ge 0$)とおくと,$F_n ^\prime (x)=-F_{n-1} (x)$ このとき,$x\ge 0$において $\left\{ {\begin{array}{l} \,n\,:$偶数なら$\,F_n \ge 0 \\ \,n\,:$奇数なら$\,F_n \le 0 \\ \end{array}} \right.$ {$\cdots$}(*) であることを,帰納法で示す。 \begin{enumerate}[(I)] \item $F_0 (x)=1-e^{-x}\ge 0$,$F_1 (x)=1-x-e^{-x}\le 0$( $\because 1-x\le e^{-x}$) より,$n=\,0\,,\,1\,$において(*)は成り立つ。 \item $F_{2k} (x)\ge 0$,$F_{2k+1} (x)\le 0$ と仮定する。このとき \begin{itemize} \item ${F}'_{2k+2} =-F_{2k+1} \ge 0$ より $F_{2k+2} (x)$は増加で$F_{2k+2} (0)=0$より$F_{2k+2} (x)\ge 0$ \item ${F}'_{2k+3} =-F_{2k+2} \le 0$ より $F_{2k+3} (x)$は現象で$F_{2k+3} (0)=0$より$F_{2k+3} (x)\le 0$ \end{itemize} 以上より,帰納法により(*)は成り立つ。 \end{enumerate} \item $f_{2k+1} (x)$について考える。 \begin{itemize} \item $f_{2k+1} (0)=1$ \item $f_{2k+1} ^\prime (x)=-f_{2k} (x)\le -e^{-x}<0$ より $f_{2k+1} (x)$ は減少 \item $\mathop {\lim }\limits_{x\to \infty } f_{2k+1} (x)=\mathop {\lim }\limits_{x\to \infty } \left\{ {\displaystyle 1-x+\frac{x^2}{2!}-\cdots \cdots \displaystyle -\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}} \right\}$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\mathop {\lim }\limits_{x\to \infty } x^{2k+1}\left\{ \displaystyle {\displaystyle \frac{1}{x^{2k+1}}-\frac{1}{x^{2k}}+\cdots \cdots +\frac{1}{(2k)!x}-\frac{1}{(2k+1)!}} \right\}$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\infty $ \end{itemize} 以上より,題意は成り立つ。 \end{enumerate} \qed \end{document}