名古屋大学 前期理系 1996年度 問4

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解答作成者: 岩沢 潔

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問4
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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2人じゃんけんで勝負がつく確率は[式:…]
こた さん 2011/10/20 15:39:56 報告
% Converted from Microsoft Word to LaTeX % by Chikrii Softlab Word2TeX converter (version 4.0) % Copyright (C) 1999-2007 Chikrii Softlab. All rights reserved. % http://www.chikrii.com % mailto: info@chikrii.com % License: CSL#004038 \documentclass{article} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \newcommand{\qed}{\begin{flushright}$\square$\end{flushright}} \begin{document} \noindent 選択問題\fbox{4}(a) \noindent\fbox{4}(a) \begin{FRAME} 3人がじゃんけんで,1,2,3番を決める。ちょうど$n$回目で3人の順位が確定する確率$P(n)$を求めよ。ただし,3人とも,グー,チョキ,パーを出す確率はすべて$\displaystyle \frac{1}{3}$とする。 \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent 理\fbox{4}(a)【解答】 \begin{itemize} \item 3人じゃんけん$\cdots$あいこ$\triangle$ (確率$\displaystyle{9 \over {27}}=\displaystyle{1 \over 3}$) \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad 2人勝ち$\square$ (確率$\displaystyle{9 \over {27} } = \displaystyle{1 \over 3}$) \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad 1人勝ち$\blacksquare$ (確率$\displaystyle{9 \over {27} } = \displaystyle{1 \over 3}$) \item 2人じゃんけん{\ldots} あいこ$\bigcirc $ (確率$\displaystyle{3 \over 9}=\displaystyle{1 \over 3}$) \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad\quad 勝負つく$\times $ (確率$\displaystyle{3 \over 9}=\displaystyle{1 \over 3}$) \item 途中$k$回目に2人勝ちとなり,$n$回目に順位が確定するパターン ${\begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & \cdots \hfill & {k-1} & k & {k+1} & \cdots \hfill & {n-1} & n \\\hline \triangle & \triangle & \cdots \hfill& \triangle & \square & \bigcirc & \cdots \hfill & \bigcirc & \times \hfill \\ \end{array} }\quad $ 確率$q_k =\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{n-1}\left( {\displaystyle\frac{2}{3}} \right)$ ただし,$k$の可能な範囲は $k=\,1\,,\,2\,,\,\cdots \cdots ,\,n-1$ よって,途中で2人勝ち残るときの確率$P$は \[ P=\sum\limits_{k=1}^{n-1} {\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{n-1}\left( {\displaystyle\frac{2}{3}} \right)} =(n-1)\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{n-1}\cdot\displaystyle \frac{2}{3} \] \item 途中$k$回目に1人勝ちとなり,負けた2人で続行するのは,上の図で$\square$を$\blacksquare$にした場合であり,上と同じ よって,求める確率は $2P=(n-1)\left( {\displaystyle\frac{1}{3}} \right)^{n-1}\cdot \displaystyle\frac{4}{3}=\frac{4(n-1)}{3^n} $\qed \end{itemize} \noindent【注】$k$回目を``$\square$または$\blacksquare$''としてもよい。 \end{document}