名古屋大学 前期理系 1996年度 問3

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解答作成者: 岩沢 潔

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問3
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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% Converted from Microsoft Word to LaTeX % by Chikrii Softlab Word2TeX converter (version 4.0) % Copyright (C) 1999-2007 Chikrii Softlab. All rights reserved. % http://www.chikrii.com % mailto: info@chikrii.com % License: CSL#004038 \documentclass{article} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \newcommand{\qed}{\begin{flushright}$\square$\end{flushright}} \begin{document} \noindent 理\fbox{3 } \begin{FRAME} 自然数$n$と正の数$t$に対して $f_n (t)=\int_{\,\,1}^{\,\,n} {\displaystyle\frac{1}{x}\vert \log \frac{t}{x}\vert dx} $ とおく。 \begin{enumerate} \item 各$n$に対して,$1\le t\le n$ における$f_n (t)$の最大値$A_n $と最小値$B_n $を求めよ。 \item $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } (A_{n+1} -A_n )$を求めよ。ただし,$\mathop {\lim }\limits_{x\to \infty } \displaystyle\frac{\log x}{x}=0$ は用いてよい。 \end{enumerate} \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent 理\fbox{3}【解答】 $\displaystyle f_n (t)=\int_{\,\,1}^{\,\,n} {\displaystyle \frac{1}{x}\vert \log t-\log x\vert dx} $ \begin{enumerate} \item $f_n (t)=\int_{\,\,1}^{\,\,t} {\displaystyle \frac{1}{x}(\log t-\log x)dx} -\int_{\,\,t}^{\,\,n} {\displaystyle \frac{1}{x}(\log t-\log x)dx} $ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \displaystyle =-\left[ {\displaystyle \frac{1}{2}(\log x-\log t)^2} \right]_{\,\,1}^{\,\,t} +\left[ {\displaystyle \frac{1}{2}(\log x-\log t)^2} \right]_{\,\,t}^{\,\,n} $ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \displaystyle =\frac{1}{2}(\log t)^2\frac{1}{2}(\log n-\log t)^2$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \displaystyle =(\log t)^2-(\log n)(\log t)+\frac{1}{2}(\log n)^2$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \displaystyle =\left( {\displaystyle \log t-\frac{1}{2}\log n} \right)^2+\frac{1}{4}(\log n)^2$ $1\le t\le n$ においては $\log t=0\,\,,\,\,\log n$ のとき 最大, $\displaystyle \log t=\frac{\log n}{2}\,$ のとき最小 $\displaystyle\therefore A_n =\frac{1}{2}(\log n)^2$,$\displaystyle B_n =\frac{1}{4}(\log n)^2$\qed \item $\displaystyle A_{n+1} -A_n =\frac{1}{2}\left\{ {(\log (n+1))^2-(\log n)^2} \right\}=\displaystyle \frac{1}{2}\left\{ {\log (n+1)+\log n} \right\}\log \displaystyle \frac{n+1}{n}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\log (n+1)+\log n}{n}\cdot n\log \left( {\displaystyle 1+\frac{1}{n}} \right)$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{ {\displaystyle \frac{\log (n+1)}{n+1}\cdot \frac{n+1}{n}+\frac{\log n}{n}} \right\}\log \left( {\displaystyle 1+\frac{1}{n}} \right)^n$ $\displaystyle \buildrel {(n\to \infty )} \over \longrightarrow \frac{1}{2}\left\{ {0\cdot 1+0} \right\}\log e=0 \quad $\qed \end{enumerate} \noindent【注】(2)で $\displaystyle g(x)=\frac{(\log x)^2}{2}$ とすると $A_{n+1} -A_n =g(n+1)-g(n)$ $=\left\{ {(n+1)-n\,} \right\}{g}'(c)$ (平均値の定理より$c$は $n<c<n+1$ なるある数) $\displaystyle =\frac{\log c}{c}\buildrel {(n\to \infty )} \over \longrightarrow 0$ \end{document}