名古屋大学 前期理系 1996年度 問2

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解答作成者: 岩沢 潔

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 1996年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass{article} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \begin{document} \noindent 理\fbox{2} \begin{FRAME} $xyz$空間内で,平面 $z=1$ 上に円 $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ ,平面 $z=2$ 上に直線 $x=1$がある。点A$(\,0\,,\,0\,,\,t\,)$,$t>2$ にある光源が$xy$平面に映すこれらの円と直線の影を,それぞれ$C\,,\,l\;$とする。 \begin{enumerate} \item $C\,$と$\,l\;$が相異なる2点で交わるような$t$の範囲を求めよ。 \item $C\,$と$\,l\;$の2交点を結ぶ線分の中点をPとする。$t$が(1)の範囲を動くときの点Pの軌跡を図示せよ。 \end{enumerate} \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent 理\fbox{2}【解答】 \begin{enumerate} \item A$(\,0\,,\,0\,,t\,)$と円上の点$(\,1+2\cos \theta \,,\,1+2\sin \theta \,,\,1\,)$を結ぶ直線は $\displaystyle \frac{x}{1+2\cos \theta }=\frac{y}{1+2\sin \theta }=\frac{z-t}{1-t}$ これと$xy$平面の交点$(\,x\,,\,y\,,\,0\,)$は $\left\{ {\begin{array}{l} \,x=\displaystyle\frac{t}{t-1}+\displaystyle\frac{2t}{t-1}\cos \theta \\ \,y=\displaystyle\frac{t}{t-1}+\displaystyle\frac{2t}{t-1}\sin \theta \\ \end{array}} \right.$ $\theta $を変化させて,$C$の方程式は $C:\left( \displaystyle{x-\frac{t}{t-1}} \right)^2+\left( {y-\displaystyle\frac{t}{t-1}} \right)^2=\left( {\displaystyle\frac{2t}{t-1}} \right)^2$ また,Aと直線上の点$(\,1\,,\,p\,,\,2\,)$を結ぶ直線は $\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{p}=\frac{z-t}{2-t}$ で$xy$平面の交点は$\left( {\displaystyle \,\frac{t}{t-2}\,,\,p\cdot \frac{t}{t-2}\,,\,0\,} \right)$であり,$p$を変化させることにより$\ell $の方程式は $\ell $:$\displaystyle x=\frac{t}{t-2}\,\,,\,\,z=0\,$ $C$と$\ell $ が2点で交わる条件は ``($C$の中心と$\ell $の距離)<($C$の半径)'' だから,$t>2$の下に $\left| {\displaystyle \frac{t}{t-2}-\frac{t}{t-1}} \right|<\displaystyle \frac{2t}{t-1} \quad $ $\displaystyle \therefore\frac{t}{(t-2)(t-1)}<\frac{2t}{t-1} \quad\therefore t>\frac{5}{2}$ \item P$(\,x\,,\,y\,)$ とすると $\displaystyle x=\frac{t}{t-2}\,\,\,,\,\,\,y=\frac{t}{t-1}$ $\displaystyle t>\frac{5}{2}$ のとき,$\displaystyle x>0\,,\,y>0\,,\,1-\frac{1}{x}=\frac{2}{t}\,\,,\,\,1-\frac{1}{y}=\frac{1}{t}\,$ $\,\therefore 1-\displaystyle\frac{1}{x}=2\left( {\displaystyle 1-\frac{1}{y}} \right)$,$\displaystyle 0<1-\frac{1}{x}<\frac{4}{5}$ $\therefore (x+1)(y-2)=-2$,$1<x<5$ \end{enumerate} \end{document}