名古屋大学 前期理系 1999年度 問1

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解答作成者: 岩沢 潔

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期理系
年度 1999年度
問No 問1
学部 理 ・ 医 ・ 工 ・ 農 ・ 情報文化(自然情報)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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% Converted from Microsoft Word to LaTeX % by Chikrii Softlab Word2TeX converter (version 4.0) % Copyright (C) 1999-2007 Chikrii Softlab. All rights reserved. % http://www.chikrii.com % mailto: info@chikrii.com % License: CSL#004038 \documentclass{jarticle} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \usepackage{paralist} \newsavebox{\circlebox} \savebox{\circlebox}{\fontencoding{OMS}\selectfont\large\char13} \newlength{\circleboxwdht} \newcommand{\centercircle}[1]{% \setlength{\circleboxwdht}{\wd\circlebox}% \addtolength{\circleboxwdht}{\dp\circlebox}% \raisebox{0.4\dp\circlebox}{% \parbox[][\circleboxwdht][c]{\wd\circlebox}{\centering\small #1}}% \llap{\usebox{\circlebox}}% } \begin{document} \noindent 理\fbox{1} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \item ベクトル$\overrightarrow a =(\,a_1 \,,\,a_2 \,)$が次の条件(*)をみたすとき,点$(\,a_1 \,,\,a_2 \,)$の存在範囲を図示せよ。 (*) あるベクトル$\overrightarrow b =(\,b_1 \,,\,b_2 \,)$が存在して, $(\,\overrightarrow a \cdot \overrightarrow p \,)^2+(\,\overrightarrow b \cdot \overrightarrow p \,)^2=\vert \overrightarrow p \vert ^2$ が,任意のベクトル$\overrightarrow p $に対して成り立つ \item (1)で求めた$\overrightarrow a =(\,a_1 \,,\,a_2 \,)$に対して,条件(*)にあるベクト$\overrightarrow b =(\,b_1 \,,\,b_2 \,)$を求めよ。 \end{enumerate} \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent S\fbox{1}【解答】 \begin{enumerate} \item $\overrightarrow p =(\,x\,,\,y\,)$ とおくと $(\,\overrightarrow a \cdot \overrightarrow p \,)^2+(\,\overrightarrow b \cdot \overrightarrow p \,)^2=\vert \overrightarrow p \vert ^2$ $\Leftrightarrow \quad (a_1 x+a_2 y)^2+(b_1 x+b_2 y)^2=x^2+y^2$ $\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\Leftrightarrow \quad ({a_1} ^2+{b_1} ^2)x^2+2(a_1 a_2 +b_1 b_2 )xy+({a_2} ^2+{b_2} ^2)y^2=x^2+y^2$ これが任意の$\overrightarrow p =(\,x\,,\,y\,)$について成り立つことより $\left\{ {\begin{array}{l} {a_1} ^2+{b_1} ^2=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots\centercircle{1} \\ {a_2} ^2+{b_2} ^2=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots\centercircle{2} \\ a_1 a_2 +b_1 b_2 =0\,\,\,\,\cdots\centercircle{3} \\ \end{array}} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{l} {b_1} ^2=1-{a_1} ^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots\centercircle{1}$'$ \\ {b_2} ^2=1-{a_2} ^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots \centercircle{2}$'$ \\ b_1 b_2 =-a_1 a_2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cdots\centercircle{3}$'$ \\ \end{array}} \right.$ \centercircle{1}',\centercircle{2}'を満たす$b_1 \,,\,b_2 $が存在する条件は ${a_1} ^2\le 1$,${a_2} ^2\le 1$ {\ldots}\centercircle{4}であり, このとき $\displaystyle b_1 =\pm \sqrt {1-{a_1} ^2} $,$\displaystyle b_2 =\pm \sqrt {1-{a_2} ^2} $ {\ldots}\centercircle{5} で,\centercircle{5}のいずれかの$b_1 \,,\,b_2 $の組が\centercircle{3}'を満たす条件は $\displaystyle \pm \sqrt {1-{a_1} ^2} \sqrt {1-{a_2} ^2} =-a_1 a_2 \quad \Leftrightarrow $ $\quad(1-{a_1} ^2)(1-{a_2} ^2)={a_1} ^2{a_2} ^2 \quad \Leftrightarrow \quad{a_1} ^2+{a_2} ^2=1$ {\ldots}\centercircle{6} 以上より,求める条件は 「\centercircle{4}かつ\centercircle{6}」,すなわち「\centercircle{6}」 (図略) \item (1)の結果を用いて,\centercircle{1}より ${b_1} ^2=1-{a_1} ^2={a_2} ^2 \quad \therefore b_1 =\pm a_2 $ 同様にして\centercircle{2}より \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,${b_2} ^2=1-{a_2} ^2={a_1} ^2 \quad \therefore b_2 =\pm a_1 $ \centercircle{3}より $b_1 b_2 =-a_1 a_2 $ であるから $(\,b_1 \,,\,b_2 \,)=\pm (\,a_2 \,,\,-a_1 \,)$ $\therefore\overrightarrow b =\pm (\,a_2 \,,\,-a_1 \,)$ \end{enumerate} \noindent【注】 \begin{enumerate}[1゜] \item{\centercircle{1},\centercircle{2},\centercircle{3}}は$b_1 \,,\,b_2 $の連立方程式($a_1 \,,\,a_2 $は文字係数)であり,未知数に対して等式が1つ過剰にある。 \item (2)によれば,$\overrightarrow b $は「$\overrightarrow a $と同じ大きさであり,$\overrightarrow a $と直交するベクトル」ということ。 \item (\centercircle{1},\centercircle{2},\centercircle{3}の生かし方) $A=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {a_1 } & {a_2 } \\ {b_1 } & {b_2 } \\ \end{array} }} \right)$,${A}'=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \hfill & {b_1 } \hfill \\ {a_2 } \hfill & {b_2 } \hfill \\ \end{array} }} \right)$ とおくと ${A}'A=\left( {{\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \hfill & {b_1 } \hfill \\ {a_2 } \hfill & {b_2 } \hfill \\ \end{array} }} \right)\left( {{\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \hfill & {a_2 } \hfill \\ {b_1 } \hfill & {b_2 } \hfill \\ \end{array} }} \right)=\left( {{\begin{array}{cc} { \hfill{a_1} ^2+{b_1} ^2} & \hfill{a_1 a_2 +b_1 b_2 } \\ { \hfill{a_1} a_2 +b_1 b_2 } & \hfill{{a_2} ^2+{b_2} ^2} \\ \end{array} }} \right) =\left( {{\begin{array}{*{20}c} 1 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 1 \hfill \\ \end{array} }} \right)=E$ よって ${A}'=A^{-1}${\ldots}\centercircle{4} であり $\vert {A}'A\vert =\vert E\vert $ $\therefore\vert A\vert ^2=1 \quad \therefore\vert A\vert =\pm 1$ \centercircle{4}より $\left( {{\begin{array}{*{20}c} {a_1 } \hfill & {b_1 } \hfill \\ {a_2 } \hfill & {b_2 } \hfill \\ \end{array} }} \right)=\pm \left( {{\begin{array}{cc} {b_2 } & {-a_2 } \\ {-b_1 } & {a_1 } \\ \end{array} }} \right)$ であり,これより $(\,b_1 \,,\,b_2 \,)=\pm (\,a_2 \,,\,-a_1 \,)$ \item 以上の結果を踏まえると $\left\{ {\begin{array}{l} {a_1} ^2+{b_1} ^2=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ {a_2} ^2+{b_2} ^2=1\,\,\,\,\,\,\,\, \\ a_1 a_2 +b_1 b_2 =0\,\,\, \\ \end{array}} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ {\begin{array}{l} { a_1} ^2+{a_2} ^2=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ {b_1} ^2+{b_2} ^2=1\,\,\,\,\,\,\,\, \\ a_1 b_1 +a_2 b_2 =0\,\,\, \\ \end{array}} \right.$ を示すことができて 「 $\overrightarrow a =(a_1 \,,\,a_2 \,)$ と $\overrightarrow b =(b_1 \,,\,b_2 \,)$ は直交する単位ベクトル 」 になる。 \end{enumerate} \end{document}