京都大学 後期理系 1997年度 問6

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1997年度
問No 問6
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 積分法 ・ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad 媒介変数表示された曲線 \[C\; :\; x=e^{-t}\cos t,\;\; y=e^{-t}\sin t\quad \Bigr(0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}\Bigl)\] を考える. \begin{toi} \item $C$ の長さ $L$ を求めよ. \item $C$ と $x$軸,$y$軸で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} %kai (1)$\dfrac{dx}{dt}=e^{-t}(-\cos t-\sin t)\qquad \dfrac{dy}{dt}=e^{-t}(-\sin t+\cos t)$\\ だから \begin{align} L&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(e^{-t})^2\cdot 2}\,dt\notag \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}e^{-t}\,dt=\sqrt{2}\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\ans{\sqrt{2}(1-e^{-\frac{\pi}{2}})}\notag \end{align} (2)$C$ は原点を極,$x$ 軸正の部分の半直線を始線とする極座標\ $(r,\theta)$ では\\   $C:r=e^{-\theta}\quad(0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2})$ \\ とかけるので \begin{align} S&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2} r^2\,d\theta=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}e^{-2\theta}\,d\theta\notag\\ &=\frac{1}{2}\Bigl[-\frac{1}{2}e^{-2\theta}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\ans{\frac{1}{4}(1-e^{-\pi})}\notag \end{align} %\betu \medskip \chu\ \kakko{2}は極方程式の面積公式を用いたが,正直にやると \begin{align*} &\int_0^1y\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^0y\Frac{dx}{dt}\,dt\\ &=\int_{\frac{\pi}{2}}^0e^{-t}\sin t(-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t)\,dt \end{align*} を計算することになる. \end{document}