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解答作成者: 米村 明芳
入試情報
| 大学名 |
京都大学 |
| 学科・方式 |
後期理系 |
| 年度 |
1997年度 |
| 問No |
問6 |
| 学部 |
理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間（理）
|
| カテゴリ |
積分法 ・ いろいろな曲線
|
| 状態 |
   |
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\documentclass[a5j]{jsarticle}
\usepackage{mystyle}
\begin{document}
\input{size}
\begin{FRAME}
\quad
媒介変数表示された曲線
\[C\; :\; x=e^{-t}\cos t,\;\; y=e^{-t}\sin t\quad \Bigr(0\leqq t\leqq
\dfrac{\pi}{2}\Bigl)\]
を考える．
\begin{toi}
\item $C$ の長さ $L$ を求めよ．
\item $C$ と $x$軸，$y$軸で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよ．
\end{toi}
\end{FRAME}
%kai
（1）$\dfrac{dx}{dt}=e^{-t}(-\cos t-\sin t)\qquad \dfrac{dy}{dt}=e^{-t}(-\sin t+\cos t)$\\
だから
\begin{align}
L&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(e^{-t})^2\cdot 2}\,dt\notag \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}e^{-t}\,dt=\sqrt{2}\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\ans{\sqrt{2}(1-e^{-\frac{\pi}{2}})}\notag
\end{align}
（2）$C$ は原点を極，$x$ 軸正の部分の半直線を始線とする極座標\
$(r,\theta)$ では\\
$C:r=e^{-\theta}\quad(0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2})$ \\
とかけるので
\begin{align}
S&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}
r^2\,d\theta=\frac{1}{2}\int_0^\frac{\pi}{2}e^{-2\theta}\,d\theta\notag\\
&=\frac{1}{2}\Bigl[-\frac{1}{2}e^{-2\theta}\Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}=\ans{\frac{1}{4}(1-e^{-\pi})}\notag
\end{align}
%\betu
\medskip
\chu\ \kakko{2}は極方程式の面積公式を用いたが，正直にやると
\begin{align*}
&\int_0^1y\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^0y\Frac{dx}{dt}\,dt\\
&=\int_{\frac{\pi}{2}}^0e^{-t}\sin t(-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t)\,dt
\end{align*}
を計算することになる．
\end{document}
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