京都大学 前期理系 1997年度 問4

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期理系
年度 1997年度
問No 問4
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ 三角関数 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad \begin{toi} \item $0\leqq\alpha<\beta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ であるとき,次の不等式を示 せ. \[ \int_{\alpha}^{\beta}\sin x\,dx+\int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha}\sin x\,dx>(\beta-\alpha)(\sin\alpha+\sin(\pi-\beta)) \] \item $\dsum_{k=1}^{7}\sin\dfrac{k\pi}{8}<\dfrac{16}{\pi}$ を示せ. \end{toi} \end{FRAME} %kai \kakko{1}\ 図において,B$(\alpha,\ 0)$,C$(\beta,\ 0)$,F$(\pi-\beta,\ 0)$, G$(\pi-\alpha,\ 0)$である. \begin{center} \input{97zs4fig.tex} \end{center} $\sin x\;(0\leqq x\leqq \pi)$ は上に凸だから, \begin{align*} \int_{\alpha}^{\beta}\sin x\,dx &>\text{(台形ABCD)}=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)(\sin\alpha+\sin\beta)\\ \int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha}\sin x\,dx&>\text{(台形EFGH)}=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)(\sin(\pi-\alpha)+\sin(\pi-\beta)) \end{align*} $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$ だから,上式を辺々加えて \[ \int_{\alpha}^{\beta}\sin x\,dx+\int_{\pi-\beta}^{\pi-\alpha}\sin x\,dx>(\beta-\alpha)(\sin\alpha+\sin(\pi-\beta)) \] \kakko{2}\ \kakko{1}の不等式を $(\alpha,\ \beta)=(0,\ \pi/8)$,$(\pi/8,2\pi/8)$, $(2\pi/8,3\pi/8)$,$(3\pi/8,4\pi/8)$ について用いると \begin{align*} \frac{\pi}{8}\Bigl(\sin 0+\sin\frac{7\pi}{8}\Bigr)&<\int_{0}^{\pi/8}\sin x\,dx+\int_{7\pi/8}^{\pi}\sin x\,dx\\ \frac{\pi}{8}\Bigl(\sin\frac{\pi}{8}+\sin\frac{6\pi}{8}\Bigr)&<\int_{\pi/8}^{2\pi/8}\sin x\,dx+\int_{6\pi/8}^{7\pi/8}\sin x\,dx\\ \frac{\pi}{8}\Bigl(\sin\frac{2\pi}{8}+\sin\frac{5\pi}{8}\Bigr)&<\int_{2\pi/8}^{3\pi/8}\sin x\,dx+\int_{5\pi/8}^{6\pi/8}\sin x\,dx\\ \frac{\pi}{8}\Bigl(\sin\frac{3\pi}{8}+\sin\frac{4\pi}{8}\Bigr)&<\int_{3\pi/8}^{4\pi/8}\sin x\,dx+\int_{4\pi/8}^{5\pi/8}\sin x\,dx \end{align*} これらを辺々加えて \[ \frac{\pi}{8}\sum_{k=1}^7\sin\frac{k\pi}{8}<\int_0^\pi\sin x\,dx=2\qquad\therefore\quad\dsum_{k=1}^{7}\sin\dfrac{k\pi}{8}<\dfrac{16}{\pi} \] \medskip \chu $\alpha=\pi/8$,$z=\cos\alpha+i\sin\alpha$とおくと, \[ 1+z+\cdots+z^{7}=\frac{1-z^{8}}{1-z} =\frac{2(1-\overline{z})}{\abs{1-z}^2} \] この両辺の虚部をとると \begin{equation} \sum_{k=1}^7\sin k\alpha=\frac{2\sin\alpha}{2-2\cos\alpha}=\frac{1}{\tan(\alpha/2)}\Tag{($*$)} \end{equation} $\tan x>x\ (0<x<\pi/2)$により \[ (*)<\frac{1}{\alpha/2}=\frac{2}{\alpha}=\frac{16}{\pi} \] %\betu %\chu \end{document}