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大阪大学 後期理系 1992年度 問2
解答の著作権は解答作成者に帰属します。無断転載、複製を禁止します。
解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 後期理系 |
| 年度 | 1992年度 |
| 問No | 問2 |
| 学部 | 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部 |
| カテゴリ | 方程式と不等式 |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
$a$ を正の実数とし，
$m$ を正の整数とする．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$0 < y < am$ をみたす正の整数 $y$ の個数を $Y(m)$ とする．\smallskip
このとき極限値 $\lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{Y(m)}{m}$ を求めよ．
\item
3本の直線 $y = 0,\,\,\,y = ax,\,\,\,x = m$ によって定まる三角形 $T(m)$ を考える．
$T(m)$ の内部に含まれる点$(p,\,\,q)$であって，
$p$ と $q$ が整数であるようなものの個数を $N(m)$ とする．\smallskip
ただし $T(m)$ の周上の点は数えない．\smallskip
このとき極限値 $\lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{N(m)}{m^2}$ を求めよ．
\end{enumerate}
\end{FRAME}
\vskip 2mm
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
実数 $x$ に対し，$x$ を超えない最大の整数を $\gauss{x}$ と記す．
定義より
\begin{align*}
\gauss{x} \leqq x < \gauss{x} + 1 \quad
すなわち \quad
x - 1 < \gauss{x} \leqq x
\tag*{$\cdott(*)$}
\end{align*}
が成り立つ．
$0 < y < am$ を満たす整数 $y$ は
\begin{gather*}
\left\{
\begin{array}{ll}
\smallskip
amが整数のとき
& y = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,am-1 \\
amが非整数のとき
& y = 1,\,\,2,\,\,\cdots,\,\,\gauss{am}
\end{array}
\right. \\[1mm]
\therefore \,\,\,
Y(m) = \left\{
\begin{array}{ll}
\smallskip
am - 1 & (amが整数のとき) \\
\gauss{am} & (amが非整数のとき)
\end{array}
\right.
\end{gather*}
$(*)$ より
\begin{gather*}
am - 1 \leqq Y(m) \leqq \gauss{am} \leqq am
\tag*{$\cdott\MARU{1}$} \\
\therefore \,\,\,
a - \frac{1}{m} \leqq \frac{Y(m)}{m} \leqq a
\end{gather*}
$m \to \infty$ のとき $\dfrac{1}{m} \to 0$ だから，
はさみうちの原理より
\begin{align*}
\lim_{m \to \infty} \frac{Y(m)}{m}
= \textcolor{red}{\boldsymbol{a}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\item
$1 \leqq k \leqq m-1$ とする．
$T(m)$ と $x = k$ の共通部分に属す格子点の個数は $Y(k)$ だから，\\
\begin{minipage}{240pt}
\begin{align*}
N(m)
= \sum_{k=1}^{m-1} Y(k)
\tag*{$\cdott\MARU{2}$}
\end{align*}
\MARU{1}より $ak - 1 \leqq Y(k) \leqq ak$ だから，
\MARU{2}より
\begin{gather*}
\sum_{k=1}^{m-1} (ak - 1)
\leqq N(m)
\leqq \sum_{k=1}^{m-1} ak \\[1mm]
\therefore \,\,\,
\frac{1}{m^2}\sum_{k=1}^{m-1} (ak - 1)
\leqq \frac{N(m)}{m^2}
\leqq \frac{1}{m^2} \sum_{k=1}^{m-1} ak
\end{gather*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{180pt}
\hspace*{1.5zw}
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\begin{picture}( 16.2500, 13.8800)( 6.0000,-20.9100)
% VECTOR 2 0 3 0
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\special{pn 8}%
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\special{pa 1766 780}%
\special{fp}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 1766 1872
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1766 1872 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% DOT 0 0 3 0
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%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1766 1800 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1766 1726 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
\special{sh 1}%
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\special{sh 1}%
\special{ar 1766 1580 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1766 1508 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1766 1436 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
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% ELLIPSE 3 0 3 0
% 4 1766 1544 1821 1915 1821 1915 1821 1915
%
\special{pn 4}%
\special{ar 1766 1544 56 372 0.0000000 6.2831853}%
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% 4 1766 1945 1766 1964 1766 1964 1766 1964
%
\special{pn 4}%
\special{ar 1766 1946 20 20 0.0000000 6.2831853}%
% CIRCLE 3 0 3 0
% 4 1766 1129 1766 1148 1766 1148 1766 1148
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\special{pn 4}%
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\special{pn 4}%
\special{pa 2204 780}%
\special{pa 600 2062}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1440 857 1440 930 2 0
% {\scriptsize$x=k$}
\put(14.4000,-9.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$x=k$}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1290 1677 1290 1750 2 0
% {\scriptsize$Y(k)$個}
\put(12.9000,-17.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$Y(k)$個}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1050 1317 1050 1390 2 0
% {\scriptsize$y=ax$}
\put(10.5000,-13.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$y=ax$}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2107 1140 2107 1213 2 0
% {\scriptsize$x=m$}
\put(21.0700,-12.1300){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$x=m$}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2225 1901 2225 1974 2 0
% $x$
\put(22.2500,-19.7400){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 627 800 627 873 2 0
% $y$
\put(6.2700,-8.7300){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 762 1988 762 2061 2 0
% {\footnotesize O}
\put(7.6200,-20.6100){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\vskip 0.5zw
\noindent%
ここで
\begin{gather*}
\sum_{k=1}^{m-1} ak
= \frac{a}{2}m(m-1) \quad
より \quad
\frac{1}{m^2}\sum_{k=1}^{m-1} ak
= \frac{a}{2}\!\left(1 - \frac{1}{m} \right) \\[1mm]
\sum_{k=1}^{m-1} (ak - 1)
= \frac{a}{2}m(m-1) - (m-1) \\[1mm]
より \quad
\frac{1}{m^2}\sum_{k=1}^{m-1} (ak - 1)
= \frac{a}{2}\!\left(1 - \frac{1}{m} \right)
- \frac{1}{m}\!\left(1 - \frac{1}{m} \right)
\end{gather*}
ゆえに，
(1)と同様に，
はさみうちの原理より
\begin{align*}
\lim_{m \to \infty} \frac{N(m)}{m^2}
= \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{a}{2}}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{document}
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