京都大学 後期理系 1999年度 問5

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期理系
年度 1999年度
問No 問5
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $a$,$b$ は整数,$u$,$v$ を有理数とする.$u+v\sqrt{3}$ が \[ x^2+ax+b=0 \] の解であるならば,$u$ と $v$ は共に整数であることを示せ.ただし $\sqrt{3}$ が無理数であることは使ってよい. \end{FRAME} %kai \quad $v=0$のとき,$u=\Frac{p}{q}$ ($p$,$q$は互いに素な整数で$q\geqq1$) とおける.これが$x^2+ax+b=0$の解だから \[ \Frac{p^2}{q^2}+a\cdot\Frac{p}{q}+b=0 \yueni p^2=-q(ap+bq) \] すると$p^2$が$q$で割り切れることになるが,$p$,$q$は互いに素だから$q=1$. ゆえに$u=p$となり$u$は整数である. \quad$v\noteq 0$のとき, $a$,$b$は整数(有理数)で$\sqrt{3}$は無理数だから,$u+v\sqrt{3}$が解な らば$u-v\sqrt{3}$も解であり(\ding{"2B}\chu), これらは相異なる.したがって,解と係数の関係により \[ 2u=-a,\quad u^2-3v^2=b\qquad\therefore\quad u=-\frac{a}{2},\quad a^2-4b=12v^2 \] $v$は有理数だから,$v=\dfrac{p}{q}$($p$,$q$は互いに素な整数で$q\geqq 1$)とおけて \[ q^2(a^2-4b)=12p^2\quad\therefore\quad q^2\mid 12p^2\quad\therefore\quad q^2\mid 12\quad\therefore\quad q=1,\ 2 \] $q=2$とすると,$a^2-4b=3p^2$となるが,$a^2\equiv 0,\ 1 \pmod{4}$で$p$,$q$ は互いに素だから$p$は奇数で,$3p^2\equiv 3 \pmod{4}$となり,矛盾を生じる. \quad よって,$q=1$だから$v=p$は整数で,このとき$a^2=4(3v^2+b)$となり,$a$は偶数 だから$u=-a/2$も整数である.\qed %\betu \bigskip \chu 上の解では,整数$a$,$b$について,$a$が$b$を割り切る($a$は$b$の約数である) ことを$a\mid b$とかいている.これは合同式と同様に大学以上の数学では普通に用いられる記 号. \quad $u+v\sqrt{3}$が$x^2+ax+b=0$の解ならば, $(u+v\sqrt{3}\,)^2+a(u+v\sqrt{3}\,)+b=0$だから, $(u^2+3v^2+au+b)+(2uv+av)\sqrt{3}=0$となるが, $u$,$v$,$a$,$b$は有理数で$\sqrt{3}$が無理数であることにより, $u^2+3v^2+au+b=2uv+av=0$となるので \begin{align*} &(u-v\sqrt{3}\,)^2+a(u-v\sqrt{3}\,)+b\\ &=(u^2+3v^2+au+b)-(2uv+av)\sqrt{3}=0 \end{align*} \end{document}