京都大学 前期理系 1999年度 問6

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 前期理系
年度 1999年度
問No 問6
学部 理 ・ 医 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 総合人間(理)
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
答えは、(43/2)-20log2ではなく、(43/3)-20log2だと思います!
JUNPEI さん 2015/01/21 21:55:32 報告
\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $x$,$y$ は $t$ を媒介変数として,次のように表示されているものとする. \begin{gather*} x=\frac{3t-t^2}{t+1}\\ y=\frac{3t^2-t^3}{t+1} \end{gather*} 変数 $t$ が $0\leqq t\leqq 3$ を動くとき,$x$ と $y$ の動く範囲をそれぞ れ求めよ.さらに,この $(x,y)$ が描くグラフが囲む図形と領域 $y\geqq x$ の共通部分の面積を求めよ. \end{FRAME} %kai \[ x=\frac{3t-t^3}{t+1}\text{, }y=\frac{3t^2-t^3}{t+1}\quad (0\leqq t\leqq 3) \] \begin{gather*} \frac{dx}{dt}=\frac{(3-6t)(t+1)-(3t-t^2)}{(t+1)^2}=-\frac{(t+3)(t-1)}{(t+1)^2}\\ \frac{dy}{dt}=\frac{(6t-3t^2)(t+1)-(3t^2-t^3)}{(t+1)^2}=-\frac{2t(t^2-3)}{(t+1)^2} \end{gather*} \vspace*{0.5zw} \def\Topspc{\rule{0pt}{15pt}} \def\Btmspc{\rule[-9pt]{0pt}{0pt}} \hfil \begin{tabular}{c|ccccc} $t$ & 0 &{} &1 &{} & 3\\ \hline $\dfrac{dx}{dt}$\Topspc\Btmspc &{} &$+$ &0 &$-$ &{} \\ \hline $x$ &0 &$\nearrow$ &1 & $\searrow$&0 \end{tabular} \hfil \begin{tabular}{c|ccccc} $t$ & 0 &{} &$\sqrt{3}$ &{} & 3\\ \hline $\dfrac{dy}{dt}$\Topspc\Btmspc &{} &$+$ &0 &$-$ &{} \\ \hline $y$ &0 &$\nearrow$ &$6\sqrt{3}-9$ & $\searrow$&0\\[2pt] \end{tabular} \hfil \vspace*{0.5zw} %\begin{wrapfigure}[7]{r}{12zw} %\end{wrapfigure} 変数 $t$ が $0\leqq t\leqq 3$ を動くとき,$x$,$y$ の増減は上表のよう になり,$x$,$y$ の動く範囲は \begin{equation*} \ans{0\leqq x\leqq 1}\text{, }\ans{0\leqq y\leqq 6\sqrt{3}-9} \end{equation*} また,$(x,y)$ が描くグラフを $C$ とする.$y=tx$ とかけることから,点$(x,y)$ は直線 $y=tx$ 上にもあり,この 直線と $C$ との共有点である.以上から,$C$ は図のようになり,着目する部 分は図の斜線部である.$C$ の $1\leqq t\leqq 3$ の部分を $y=y_+\;(0\leqq x\leqq 1)$ と表し,求める面積を $S$ とおくと \[ S=\int_0^1 y_+\,dx-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 \] 積分変数を $t$ に変更して \begin{align} S+\frac{1}{2}&=\int_3^1 y\frac{dx}{dt}\,dt\notag\\ &=\int_3^1 \frac{t^2(3-t)}{t+1}\cdot(-1)\cdot\frac{(t+3)(t-1)}{(t+1)^2}\,dt\notag\\ &=\int_1^3\frac{t^2(3-t)(t+3)(t-1)}{(t+1)^3}\,dt\notag\\ &=\int_2^4\frac{(u-1)^2(4-u)(u+2)(u-2)}{u^3}\,du\tag*{($t+1=u$ とおいた)}\\ &=\int_2^4\Bigl(-u^2+6u-5-\frac{20}{u}+\frac{36}{u^2}-\frac{16}{u^3}\Bigr)\,du\notag\\ &=\Bigl[-\frac{u^3}{3}+3u^2-5u-20\log u-\frac{36}{u}+\frac{8}{u^2}\Bigr]_2^4\notag\\ &=\frac{89}{6}-20\log 2\notag\\ &\therefore\quad S=\Bigl(\frac{89}{6}-20\log 2\Bigr)-\frac{1}{2}=\ans{\frac{43}{2}-20\log 2}\notag \end{align} \begin{center} \input{99zs6fig.tex} \end{center} \bigskip \chu 媒介変数で表示された曲線についての微分・積分の問題である.前半は微分すれ ばわかることだからできなければならないが,後半の積分は単なる計算問題 とはいえ,相当な計算である.入学試験会場で実行するのは勇気がいるだろう.見ただけでやるのに相当時 間がかかることがわかる上に,実行したところで計算間違いをせずやりきれるか どうかという疑問がわく.多くの受験生は積分の式を立てたと ころでやめたに違いないが,それで正解かも知れない.98年度の第6問も積分の計算 であったが,2年連続でこういう計算問題をだすのは受験生に計算力をもっとつけて欲し いという京大の主張があるのだろうか? \iffalse こういう機械的な計算こそまさに computerにまかすべきであって,20世紀も終ろうとしているこの時代に逆行して いるように思えるのだが.もっとも変な理屈をこねまわす力より,具体的にすぐ計 算できる能力の方が大切なのは確かではある. \fi %\betu %\chu \end{document}