名古屋大学 前期文系 2004年度 問2

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解答作成者: 岩沢 潔

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入試情報

大学名 名古屋大学
学科・方式 前期文系
年度 2004年度
問No 問2
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済 ・ 情報文化(社会システム情報)
カテゴリ
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass{article} \usepackage{latexsym} \setlength{\topmargin}{-10mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{440pt} \setlength{\textheight}{670pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.8}\selectfont \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{custom_iwasawa} \newsavebox{\circlebox} \savebox{\circlebox}{\fontencoding{OMS}\selectfont\large\char13} \newlength{\circleboxwdht} \newcommand{\centercircle}[1]{% \setlength{\circleboxwdht}{\wd\circlebox}% \addtolength{\circleboxwdht}{\dp\circlebox}% \raisebox{0.4\dp\circlebox}{% \parbox[][\circleboxwdht][c]{\wd\circlebox}{\centering\small #1}}% \llap{\usebox{\circlebox}}% } \usepackage{paralist} \begin{document} \noindent \fbox{2} \begin{FRAME} $a$を実数とする。$f(x)=x^3+ax^2+(3a-6)x+5\,$について以下の問いに答よ。 \begin{enumerate}[(1)] \item 関数$y=f(x)\,$が極値をもつ$a$ の範囲を求めよ。 \item 関数$y=f(x)\,$が極値をもつ$a$ に対して,関数$y=f(x)\,$は$x=p$で極大値,$x=q$で極小値をとるとする。関数$y=f(x)\,$のグラフ上の2点$\mbox{P}\,(\,p\,,\,f(p)\,)\,$,$\mbox{Q}\,(\,q\,,\,f(q)\,)\,$を結ぶ直線の傾き$m$を$a$を用いて表せ。 \end{enumerate} \end{FRAME} \vspace{4mm} \noindent \fbox{2}【解答】 $ f(x)=x^3+ax^2+(3a-6)x+5\, $ ${f}'(x)=3x^2+2ax+3a-6\,$ \begin{enumerate}[(1)] \item ${f}'(x)=0\,$ すなわち $3x^2+2ax+3a-6\,=0$ が異なる2つの実数解をもつことより $D/4=a^2-3(3a-6)>0$ ∴ $a^2-9a+18=(a-3)(a-6)>0$ ∴ $a<3$ または $a>6$ \item 整式$f(x)$ を整式${f}'(x)$でわると 商は$\displaystyle{1 \over 3}x+\displaystyle{1 \over 9}a$,余りは$(-\displaystyle{2\over 9}a^2+2a-4)x-\displaystyle{1 \over 3}a^2+\displaystyle{2 \over 3}a+5$ であるから \[ f(x)=(\displaystyle{1 \over 3}x+\displaystyle{1 \over 9}a){f}'(x)+(-\displaystyle{2 \over 9}a^2+2a-4)x-\displaystyle{1 \over 3}a^2+\displaystyle{2 \over 3}a+5 \] と変形できる。$x=p\,,\,q\,$を代入して,${f}'(p)=0\,,\,{f}'(q)=0\,$に注意して $f(p)=(-\displaystyle{2 \over 9}a^2+2a-4)p-\displaystyle{1 \over 3}a^2+\displaystyle{2 \over 3}a+5$ $f(q)=(-\displaystyle{2 \over 9}a^2+2a-4)q-\displaystyle{1 \over 3}a^2+\displaystyle{2 \over 3}a+5$ であるが,これは直線 $y=(-\displaystyle{2 \over 9}a^2+2a-4)x-\displaystyle{1 \over 3}a^2+\displaystyle{2 \over 3}a+5\cdots $\centercircle{1} が2点 $\mbox{P}\,(\,p\,,\,f(p)\,)\,$,$\mbox{Q}\,(\,q\,,\,f(q)\,)\,$を通ることを示している。したがって\centercircle{1}は直線PQの方程式に他ならずその傾きは $\displaystyle m=-\frac{2}{9}a^2+2a-4$ \noindent 【解説】$\displaystyle m=\frac{f(q)-f(p)}{q-p}$ であるが,これを計算するとき,$f(p)\,,\,f(q)\,$は上に示したように次数を下げてから計算するほうがラクである。 \end{enumerate} \end{document}