大阪大学 前期理系 1991年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 1991年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amscd} \usepackage{custom_mori} \usepackage{pifont} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME} \noindent%% \begin{minipage}{260pt}  図のような正方形の4頂点A,B,C,Dを次の規則で移動する動点Qがある. サイコロを振って1の目が出れば, 反時計まわりに隣の頂点に移動し, 1以外の目が出れば, 時計まわりに隣の頂点に移動する. Qは最初Aにあるものとし, $n$回移動した後の位値を$\Q_n\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,\cdots)$とする. $\Q_{2n} = \A$ である確率を $a_n$ とおく. \end{minipage} \begin{minipage}{120pt} \hspace*{1.5zw} %\input{osaka91s5f_zu_1} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 9.6000, 9.6000)( 10.7000,-16.0000) % BOX 2 0 3 0 % 2 1200 800 2000 1600 % \special{pn 8}% \special{pa 1200 800}% \special{pa 2000 800}% \special{pa 2000 1600}% \special{pa 1200 1600}% \special{pa 1200 800}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1080 1600 1080 1700 2 0 % {\footnotesize A} \put(10.8000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2030 1600 2030 1700 2 0 % {\footnotesize B} \put(20.3000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2030 710 2030 810 2 0 % {\footnotesize C} \put(20.3000,-8.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1070 720 1070 820 2 0 % {\footnotesize D} \put(10.7000,-8.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% \end{picture}% \end{minipage} \vskip 2mm \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_1$ を求めよ. \item  $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ. \item  $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  操作の度ごとに反時計まわりに隣の頂点に移動する確率は$\dfrac{1}{6}$, 時計まわりに隣の頂点に移動する確率は$\dfrac{5}{6}$である.\smallskip  $n$回の操作の後, QがA,B,C,Dにいる確率をそれぞれ順に $A_n,\,\,B_n,\,\,C_n,\,\,D_n$ とする. 移動の性質より \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \smallskip A_{2n} + C_{2n} = 1,\quad B_{2n} = D_{2n} = 0 \\ B_{2n-1} + D_{2n-1} = 1,\quad A_{2n-1} = C_{2n-1} = 0 \end{array} \right. \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} また, \begin{align*} a_n = A_{2n} \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} 2回目の操作後にQがAにいるのは, \begin{align*} \begin{CD} & @. \A @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \B @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \A \\[1mm] & または \quad @. \A @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \D @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \A \end{CD} \end{align*} のいずれかだから,\MARU{2}より \begin{gather*} A_2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{18} \\ \therefore \,\,\, \textcolor{red}{ \boldsymbol{ a_1 = \frac{5}{18} }} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \newpage \item  $2n + 2$回の操作の後, QがAにいるのは,\\ \begin{minipage}{290pt} \begin{align*} \begin{CD} & \mbox{\scriptsize $2n + 1回目$} @. \scriptstyle 2n + 2回目 @. @. \scriptstyle 確率 \\ & \B @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \A @. \qquad @. B_{2n+1} \cdot 5 \slash 6 \\[1mm] & \D @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \A @. \qquad @. D_{2n+1} \cdot 1 \slash 6 \end{CD} \end{align*} のいずれかだから, \end{minipage} \begin{minipage}{140pt} \vspace*{-1zw} %\input{osaka91s5f_zu_2} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 9.2200, 8.5600)( 7.1000,-14.3600) % BOX 2 0 3 0 % 2 1065 747 1612 1295 % \special{pn 8}% \special{pa 1066 748}% \special{pa 1612 748}% \special{pa 1612 1296}% \special{pa 1066 1296}% \special{pa 1066 748}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 890 1391 890 1460 2 0 % {\footnotesize A} \put(8.9000,-14.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1632 1295 1632 1363 2 0 % {\footnotesize B} \put(16.3200,-13.6300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 950 682 950 750 2 0 % {\footnotesize D} \put(9.5000,-7.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% % VECTOR 1 0 3 0 % 2 1612 1431 1065 1431 % \special{pn 13}% \special{pa 1612 1432}% \special{pa 1066 1432}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1066 1432}% \special{pa 1132 1452}% \special{pa 1118 1432}% \special{pa 1132 1412}% \special{pa 1066 1432}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1270 1520 1270 1588 2 0 % $\scriptstyle 5 \slash 6$ \put(12.7000,-15.8800){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 5 \slash 6$}}% % VECTOR 1 0 3 0 % 2 928 747 928 1295 % \special{pn 13}% \special{pa 928 748}% \special{pa 928 1296}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 928 1296}% \special{pa 948 1228}% \special{pa 928 1242}% \special{pa 908 1228}% \special{pa 928 1296}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 710 997 710 1066 2 0 % $\scriptstyle 1 \slash 6$ \put(7.1000,-10.6600){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 1 \slash 6$}}% \end{picture}% \end{minipage} \begin{align*} A_{2n+2} &= \frac{5}{6}B_{2n+1} + \frac{1}{6}D_{2n+1} = \frac{5}{6}B_{2n+1} + \frac{1}{6}(1 - B_{2n+1}) \\[1mm] &= \frac{2}{3}B_{2n+1} + \frac{1}{6} \quad\big(\because\,\,\,\MARU{1}\big) \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} $2n + 1$回の操作の後, QがBにいるのは,\\ \begin{minipage}{290pt} \begin{align*} \begin{CD} & \mbox{\scriptsize $2n回目$} @. \scriptstyle 2n + 1回目 @. @. \scriptstyle 確率 \\ & \A @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \B @. \qquad @. A_{2n} \cdot 1 \slash 6 \\[1mm] & \C @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \B @. \qquad @. C_{2n} \cdot 5 \slash 6 \end{CD} \end{align*} のいずれかだから, \end{minipage} \begin{minipage}{140pt} \vspace*{-1zw}\hspace{1zw} %\input{osaka91s5f_zu_3}%%%%% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 8.0100, 8.7500)( 9.6900,-14.3500) % BOX 2 0 3 0 % 2 1065 747 1612 1295 % \special{pn 8}% \special{pa 1066 748}% \special{pa 1612 748}% \special{pa 1612 1296}% \special{pa 1066 1296}% \special{pa 1066 748}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 969 1303 969 1372 2 0 % {\footnotesize A} \put(9.6900,-13.7200){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1670 1382 1670 1450 2 0 % {\footnotesize B} \put(16.7000,-14.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % VECTOR 1 0 3 0 % 2 1070 1430 1617 1430 % \special{pn 13}% \special{pa 1070 1430}% \special{pa 1618 1430}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1618 1430}% \special{pa 1550 1410}% \special{pa 1564 1430}% \special{pa 1550 1450}% \special{pa 1618 1430}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1270 1520 1270 1588 2 0 % $\scriptstyle 1 \slash 6$ \put(12.7000,-15.8800){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 1 \slash 6$}}% % VECTOR 1 0 3 0 % 2 1730 750 1730 1298 % \special{pn 13}% \special{pa 1730 750}% \special{pa 1730 1298}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1730 1298}% \special{pa 1750 1232}% \special{pa 1730 1246}% \special{pa 1710 1232}% \special{pa 1730 1298}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1770 1001 1770 1070 2 0 % $\scriptstyle 1 \slash 6$ \put(17.7000,-10.7000){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 1 \slash 6$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1620 662 1620 730 2 0 % {\footnotesize C} \put(16.2000,-7.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% \end{picture}% \end{minipage} \begin{align*} B_{2n+1} &= \frac{1}{6}A_{2n} + \frac{5}{6}C_{2n} = \frac{1}{6}A_{2n} + \frac{5}{6}(1 - A_{2n}) \quad\big(\because\,\,\,\MARU{1} \big) \\[1mm] &= -\frac{2}{3}A_{2n} + \frac{5}{6} \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} \MARU{3},\,\,\MARU{4}より \begin{align*} & A_{2n+2} = \frac{2}{3}\!\left(-\frac{2}{3}A_{2n} + \frac{5}{6}\right) + \frac{1}{6} \\[1mm] & \therefore \,\,\, \textcolor{red}{ \boldsymbol{ a_{n+1} = -\frac{4}{9}a_n + \frac{13}{18} }} \tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{5}$} \end{align*} \item  \MARU{5}より \begin{align*} a_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{4}{9}\!\left(a_n - \frac{1}{2} \right) \end{align*} よって数列 $\left\{a_n - \dfrac{1}{2} \right\}$ は \begin{align*} (初項) = a_1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{18} - \dfrac{1}{2} = -\frac{2}{9},\quad (公比) = -\frac{4}{9} \end{align*} の等比数列である. ゆえに \begin{align*} & a_n - \frac{1}{2} = -\frac{2}{9}\!\left(-\frac{4}{9} \right)^{\!\! n-1} = \frac{1}{2}\!\left(-\frac{4}{9} \right)^{\!\! n} \\[1mm] & よって \quad a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\!\left(-\frac{4}{9} \right)^{\!\! n} \end{align*} $n \to \infty$ とすれば $\left(-\dfrac{4}{9} \right)^{\!\! n} \to 0$ だから, \begin{align*} \lim_{n \to \infty} a_n = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}