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大阪大学 前期理系 1991年度 問5
解答の著作権は解答作成者に帰属します。無断転載、複製を禁止します。
解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 大阪大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 前期理系 |
| 年度 | 1991年度 |
| 問No | 問5 |
| 学部 | 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部 |
| カテゴリ | 確率 ・ 数列 |
| 状態 |    |
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
\noindent%%
\begin{minipage}{260pt}
図のような正方形の4頂点A，B，C，Dを次の規則で移動する動点Qがある．
サイコロを振って1の目が出れば，
反時計まわりに隣の頂点に移動し，
1以外の目が出れば，
時計まわりに隣の頂点に移動する．
Qは最初Aにあるものとし，
$n$回移動した後の位値を$\Q_n\,\,\,(n = 1,\,\,2,\,\,\cdots)$とする．
$\Q_{2n} = \A$ である確率を $a_n$ とおく．
\end{minipage}
\begin{minipage}{120pt}
\hspace*{1.5zw}
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\begin{picture}( 9.6000, 9.6000)( 10.7000,-16.0000)
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%
\special{pn 8}%
\special{pa 1200 800}%
\special{pa 2000 800}%
\special{pa 2000 1600}%
\special{pa 1200 1600}%
\special{pa 1200 800}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1080 1600 1080 1700 2 0
% {\footnotesize A}
\put(10.8000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2030 1600 2030 1700 2 0
% {\footnotesize B}
\put(20.3000,-17.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2030 710 2030 810 2 0
% {\footnotesize C}
\put(20.3000,-8.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1070 720 1070 820 2 0
% {\footnotesize D}
\put(10.7000,-8.2000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\vskip 2mm
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a_1$ を求めよ．
\item
$a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ．
\item
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
\end{FRAME}
\vskip 2mm
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
操作の度ごとに反時計まわりに隣の頂点に移動する確率は$\dfrac{1}{6}$，
時計まわりに隣の頂点に移動する確率は$\dfrac{5}{6}$である．\smallskip
$n$回の操作の後，
QがA，B，C，Dにいる確率をそれぞれ順に $A_n,\,\,B_n,\,\,C_n,\,\,D_n$ とする．
移動の性質より
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
\smallskip
A_{2n} + C_{2n} = 1,\quad
B_{2n} = D_{2n} = 0 \\
B_{2n-1} + D_{2n-1} = 1,\quad
A_{2n-1} = C_{2n-1} = 0
\end{array}
\right.
\tag*{$\cdott\MARU{1}$}
\end{align*}
また，
\begin{align*}
a_n = A_{2n}
\tag*{$\cdott\MARU{2}$}
\end{align*}
2回目の操作後にQがAにいるのは，
\begin{align*}
\begin{CD}
&
@.
\A @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \B
@>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \A \\[1mm]
&
または \quad
@.
\A @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \D
@>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \A
\end{CD}
\end{align*}
のいずれかだから，\MARU{2}より
\begin{gather*}
A_2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}
= \frac{5}{18} \\
\therefore \,\,\,
\textcolor{red}{
\boldsymbol{
a_1 = \frac{5}{18}
}}
\tag*{$\Ans$}
\end{gather*}
\newpage
\item
$2n + 2$回の操作の後，
QがAにいるのは，\\
\begin{minipage}{290pt}
\begin{align*}
\begin{CD}
& \mbox{\scriptsize $2n + 1回目$}
@. \scriptstyle 2n + 2回目 @. @. \scriptstyle 確率 \\
& \B @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \A
@. \qquad
@. B_{2n+1} \cdot 5 \slash 6 \\[1mm]
& \D @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \A
@. \qquad
@. D_{2n+1} \cdot 1 \slash 6
\end{CD}
\end{align*}
のいずれかだから，
\end{minipage}
\begin{minipage}{140pt}
\vspace*{-1zw}
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\begin{picture}( 9.2200, 8.5600)( 7.1000,-14.3600)
% BOX 2 0 3 0
% 2 1065 747 1612 1295
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1066 748}%
\special{pa 1612 748}%
\special{pa 1612 1296}%
\special{pa 1066 1296}%
\special{pa 1066 748}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 890 1391 890 1460 2 0
% {\footnotesize A}
\put(8.9000,-14.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1632 1295 1632 1363 2 0
% {\footnotesize B}
\put(16.3200,-13.6300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 950 682 950 750 2 0
% {\footnotesize D}
\put(9.5000,-7.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}%
% VECTOR 1 0 3 0
% 2 1612 1431 1065 1431
%
\special{pn 13}%
\special{pa 1612 1432}%
\special{pa 1066 1432}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 1066 1432}%
\special{pa 1132 1452}%
\special{pa 1118 1432}%
\special{pa 1132 1412}%
\special{pa 1066 1432}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1270 1520 1270 1588 2 0
% $\scriptstyle 5 \slash 6$
\put(12.7000,-15.8800){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 5 \slash 6$}}%
% VECTOR 1 0 3 0
% 2 928 747 928 1295
%
\special{pn 13}%
\special{pa 928 748}%
\special{pa 928 1296}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 928 1296}%
\special{pa 948 1228}%
\special{pa 928 1242}%
\special{pa 908 1228}%
\special{pa 928 1296}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 710 997 710 1066 2 0
% $\scriptstyle 1 \slash 6$
\put(7.1000,-10.6600){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 1 \slash 6$}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\begin{align*}
A_{2n+2}
&= \frac{5}{6}B_{2n+1} + \frac{1}{6}D_{2n+1}
= \frac{5}{6}B_{2n+1} + \frac{1}{6}(1 - B_{2n+1}) \\[1mm]
&= \frac{2}{3}B_{2n+1} + \frac{1}{6}
\quad\big(\because\,\,\,\MARU{1}\big)
\tag*{$\cdott\MARU{3}$}
\end{align*}
$2n + 1$回の操作の後，
QがBにいるのは，\\
\begin{minipage}{290pt}
\begin{align*}
\begin{CD}
& \mbox{\scriptsize $2n回目$}
@. \scriptstyle 2n + 1回目 @. @. \scriptstyle 確率 \\
& \A @>{\quad 確率1 \slash 6\quad}>> \B
@. \qquad
@. A_{2n} \cdot 1 \slash 6 \\[1mm]
& \C @>{\quad 確率5 \slash 6\quad}>> \B
@. \qquad
@. C_{2n} \cdot 5 \slash 6
\end{CD}
\end{align*}
のいずれかだから，
\end{minipage}
\begin{minipage}{140pt}
\vspace*{-1zw}\hspace{1zw}
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%WinTpicVersion3.08
\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 8.0100, 8.7500)( 9.6900,-14.3500)
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% 2 1065 747 1612 1295
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1066 748}%
\special{pa 1612 748}%
\special{pa 1612 1296}%
\special{pa 1066 1296}%
\special{pa 1066 748}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 969 1303 969 1372 2 0
% {\footnotesize A}
\put(9.6900,-13.7200){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1670 1382 1670 1450 2 0
% {\footnotesize B}
\put(16.7000,-14.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}%
% VECTOR 1 0 3 0
% 2 1070 1430 1617 1430
%
\special{pn 13}%
\special{pa 1070 1430}%
\special{pa 1618 1430}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 1618 1430}%
\special{pa 1550 1410}%
\special{pa 1564 1430}%
\special{pa 1550 1450}%
\special{pa 1618 1430}%
\special{fp}%
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% $\scriptstyle 1 \slash 6$
\put(12.7000,-15.8800){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 1 \slash 6$}}%
% VECTOR 1 0 3 0
% 2 1730 750 1730 1298
%
\special{pn 13}%
\special{pa 1730 750}%
\special{pa 1730 1298}%
\special{fp}%
\special{sh 1}%
\special{pa 1730 1298}%
\special{pa 1750 1232}%
\special{pa 1730 1246}%
\special{pa 1710 1232}%
\special{pa 1730 1298}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1770 1001 1770 1070 2 0
% $\scriptstyle 1 \slash 6$
\put(17.7000,-10.7000){\makebox(0,0)[lb]{$\scriptstyle 1 \slash 6$}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1620 662 1620 730 2 0
% {\footnotesize C}
\put(16.2000,-7.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}%
\end{picture}%
\end{minipage}
\begin{align*}
B_{2n+1}
&= \frac{1}{6}A_{2n} + \frac{5}{6}C_{2n}
= \frac{1}{6}A_{2n} + \frac{5}{6}(1 - A_{2n})
\quad\big(\because\,\,\,\MARU{1} \big) \\[1mm]
&= -\frac{2}{3}A_{2n} + \frac{5}{6}
\tag*{$\cdott\MARU{4}$}
\end{align*}
\MARU{3},\,\,\MARU{4}より
\begin{align*}
&
A_{2n+2}
= \frac{2}{3}\!\left(-\frac{2}{3}A_{2n} + \frac{5}{6}\right)
+ \frac{1}{6} \\[1mm]
&
\therefore \,\,\,
\textcolor{red}{
\boldsymbol{
a_{n+1} = -\frac{4}{9}a_n + \frac{13}{18}
}}
\tag*{$\Ans\,\,\,\MARU{5}$}
\end{align*}
\item
\MARU{5}より
\begin{align*}
a_{n+1} - \frac{1}{2}
= -\frac{4}{9}\!\left(a_n - \frac{1}{2} \right)
\end{align*}
よって数列 $\left\{a_n - \dfrac{1}{2} \right\}$ は
\begin{align*}
(初項)
= a_1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{18} - \dfrac{1}{2}
= -\frac{2}{9},\quad
(公比)
= -\frac{4}{9}
\end{align*}
の等比数列である．
ゆえに
\begin{align*}
&
a_n - \frac{1}{2}
= -\frac{2}{9}\!\left(-\frac{4}{9} \right)^{\!\! n-1}
= \frac{1}{2}\!\left(-\frac{4}{9} \right)^{\!\! n} \\[1mm]
&
よって \quad
a_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\!\left(-\frac{4}{9} \right)^{\!\! n}
\end{align*}
$n \to \infty$ とすれば $\left(-\dfrac{4}{9} \right)^{\!\! n} \to 0$ だから，
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} a_n
= \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{document}
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