大阪大学 文系 2008年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2008年度
問No 問1
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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No メッセージ 投稿者 日時    
1
[式:…]の場合だとどうなりますか?
すうじあむ 管理者 2008/11/20 15:01:27 報告
2
[式:…] のときは,

[式:…] とおけば,

[式:…]

だから [式:…] のとき [式:…] は最大値 [式:…] をとり,

[式:…] の最大値は [式:…] です.
森 宏征 さん 2008/11/22 02:13:30 報告
\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{-1mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{vector3} \usepackage{custom_mori} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{pifont} \usepackage{amscd} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\CD{{\bekutoru{$\C\D$}}} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって $\angle\X\O\Y = 60^\circ$ とする.\\ 2点A,BがOX上にO,A,Bの順に, また,2点C,DがOY上にO,C,Dの順に並んでいるとして, 線分ACの中点をM, 線分BDの中点をNとする. 線分ABの長さを $s$, 線分CDの長さを $t$ とするとき, 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  線分MNの長さを $s$ と $t$ を用いて表せ. \item  点A,BとC,Dが, $s^2 + t^2 = 1$ を満たしながら動くとき, 線分MNの長さの最大値を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \fbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  M,NはAB,CDそれぞれの中点だから,\\ \begin{minipage}{260pt} \begin{gather*} \OM = \frac{1}{2}(\OA + \OC),\quad \ON = \frac{1}{2}(\OB + \OD) \end{gather*} よって \begin{align*} \bekutoru{$\M\N$} &= \ON - \OM \\ &= \frac{1}{2}(\OB - \OA) + \frac{1}{2}(\OD - \OC) \\[1mm] &= \frac{1}{2}(\AB + \bekutoru{$\C\D$}) \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} $\zettaiti{\AB} = s,\,\,\,\zettaiti{\bekutoru{$\C\D$}} = t$ であり, $\AB$ と $\bekutoru{$\C\D$}$ のなす角は$60^\circ$だから, \begin{align*} \AB \cdot \CD &= \zettaiti{\AB}\zettaiti{\CD}\cos 60^\circ \\ &= \frac{1}{2}st \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{160pt} \hspace*{-0.5zw} %\input{osaka08l1f_zu_2}% %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 15.4000, 16.5900)( 11.9000,-19.4900) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1327 1944 2692 1944 % \special{pn 8}% \special{pa 1328 1944}% \special{pa 2692 1944}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2692 1944}% \special{pa 2626 1924}% \special{pa 2640 1944}% \special{pa 2626 1964}% \special{pa 2692 1944}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1327 1944 2157 509 % \special{pn 8}% \special{pa 1328 1944}% \special{pa 2158 510}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2158 510}% \special{pa 2106 558}% \special{pa 2130 556}% \special{pa 2142 578}% \special{pa 2158 510}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1846 1944 1691 1322 % \special{pn 8}% \special{pa 1846 1944}% \special{pa 1692 1322}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2364 1944 1929 907 % \special{pn 8}% \special{pa 2364 1944}% \special{pa 1930 908}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1768 1634 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1768 1634 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1768 1634 2146 1426 % \special{pn 8}% \special{pa 1768 1634}% \special{pa 2146 1426}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2146 1426 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2146 1426 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 0 0 3 0 % 2 2007 1167 2063 1141 % \special{pn 20}% \special{pa 2008 1168}% \special{pa 2064 1142}% \special{fp}% % LINE 0 0 3 0 % 2 2017 1188 2073 1160 % \special{pn 20}% \special{pa 2018 1188}% \special{pa 2074 1160}% \special{fp}% % LINE 0 0 3 0 % 2 2225 1682 2281 1654 % \special{pn 20}% \special{pa 2226 1682}% \special{pa 2282 1654}% \special{fp}% % LINE 0 0 3 0 % 2 2236 1705 2291 1678 % \special{pn 20}% \special{pa 2236 1706}% \special{pa 2292 1678}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 2190 1348 2190 1400 2 0 % {\footnotesize N} \put(21.9000,-14.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize N}}}% % CIRCLE 0 0 3 0 % 4 1732 1483 1727 1510 1727 1510 1727 1510 % \special{pn 20}% \special{ar 1732 1484 28 28 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 0 0 3 0 % 4 1805 1784 1799 1810 1799 1810 1799 1810 % \special{pn 20}% \special{ar 1806 1784 28 28 0.0000000 6.2831853}% % STR 2 0 3 0 % 3 1590 1659 1590 1710 2 0 % {\footnotesize M} \put(15.9000,-17.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize M}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1190 1937 1190 1990 2 0 % {\footnotesize O} \put(11.9000,-19.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2730 1928 2730 1980 2 0 % {\footnotesize X} \put(27.3000,-19.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize X}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2120 408 2120 460 2 0 % {\footnotesize Y} \put(21.2000,-4.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize Y}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1810 2028 1810 2080 2 0 % {\footnotesize A} \put(18.1000,-20.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2330 2028 2330 2080 2 0 % {\footnotesize B} \put(23.3000,-20.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1570 1228 1570 1280 2 0 % {\footnotesize C} \put(15.7000,-12.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1820 807 1820 860 2 0 % {\footnotesize D} \put(18.2000,-8.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% \end{picture}% \end{minipage} \vskip 0.5zw \noindent% \MARU{1},\,\,\MARU{2}より \begin{align*} \zettaiti{\bekutoru{$\M\N$}}^2 &= \frac{1}{4} \zettaiti{\AB + \CD}^2 \\[1mm] &= \frac{1}{4} \big\{ \begin{array}{@{}c@{}} \zettaiti{\AB}^2 + 2\AB \cdot \CD + \zettaiti{\CD}^2 \end{array} \big\} \\[1mm] &= \frac{1}{4}(s^2 + st + t^2) \\[1mm] \therefore \,\,\, \M\N &= \zettaiti{\bekutoru{$\M\N$}} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}\sqrt{\vphantom{b} s^2 + st + t^2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $z = s^2 + st + t^2$ とおくと $\M\N = \dfrac{1}{2}\sqrt{\vphantom{b} z}$. \smallskip  $s = \cos\theta,\,\,\,t = \sin\theta,\,\,\,0^\circ < \theta < 90^\circ$ と 表せるから, \begin{align*} z = 1 + \cos\theta\sin\theta = 1 + \frac{1}{2}\sin 2\theta \end{align*} $0^\circ < 2\theta < 180^\circ$ より $2\theta = 90^\circ\,\,\, (\theta = 45^\circ)$ で $z$ は最大値 $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ を とるから, \begin{align*} (\M\N の最大値) &= \frac{1}{2}\sqrt{\vphantom{b} (zの最大値)} \\[1mm] &= \frac{1}{2}\sqrt{\vphantom{b} \frac{3}{2}} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{\sqrt{\vphantom{b} 6}}{4}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}