京都大学 後期文系 2001年度 問4

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 京都大学
学科・方式 後期文系
年度 2001年度
問No 問4
学部 総合人間(文) ・ 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} 理\fbox{3},文\fbox{4}共通\\ \\ \begin{FRAME} \quad 複素数平面上の単位円に内接する正五角形で,1がその頂点の1つとなっているも のを考える.この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち,もとの正五 角形の頂点以外のもので,実部,虚部がともに正であるものを$z$とする. \begin{toi} \item $\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}$とするとき, $\alpha$を用いて$z$を表せ.ただし,$i$は虚数単位を表す.\smallskip \item 3点1,$\alpha^2$,$z$を通る円は,原点を通ることを示せ. \end{toi} \end{FRAME} %kai \begin{minipage}[t]{\linewidth-16zw} \kakko{1}図のように頂点をおくと$\hen{BD}\heiko\hen{AE}$, $\hen{AD}\heiko\hen{BC}$だから,PBDAは平行4辺形である. \begin{gather*} \VEC{AP}=\VEC{DB}\yueni z-1=\alpha-\alpha^3\\ \yueni z=\ans{1+\alpha-\alpha^3} \end{gather*} \kakko{2}\kakko{1}から \begin{gather*} \Kaku{PAC}=\arg\dfrac{\alpha^2-1}{z-1}=\arg\frac{\alpha^2-1}{\alpha-\alpha^3}\\ =\arg\frac{-1}{\alpha}=\pi-\frac{2\pi}{5}=\frac{3\pi}{5} \end{gather*} また,OPは\Kaku{AOB}の2等分線だから \end{minipage} \parbox[t][\height][b]{16zw}{\input{01ks3fig}} \[ \Kaku{POC}=\arg{\alpha^2}{z}=2\arg\alpha-\arg z=\frac{4\pi}{5}-\frac{\pi}{5}=\frac{3\pi}{5} \] したがって,$\Kaku{PAC}=\Kaku{POC}$となり,原点OはP,A,Cを通る円の周上にある. \bigskip \chu \kakko{1}の答は,$\dfrac{\alpha^2+\alpha}{\alpha^2+1}$など, いろいろありえる. また,角度を直接計算してもなんでもないし,その方が簡 単. %\betu %\chu \end{document}