神戸大学 前期理系 2008年度 問5

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解答作成者: 米村 明芳

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入試情報

大学名 神戸大学
学科・方式 前期理系
年度 2008年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 工学部 ・ 農学部 ・ 海事科学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$,$k$を自然数とする.このとき,次の問に答えよ.%(配点30点) \begin{toi} \item $(1+x)^n$の展開式を用いて,次の等式を示せ. \begin{align*} &2^n=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\comb{n}{2}+\comb{n}{3}+\cdots+\comb{n}{n}\\ &0=\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\comb{n}{3}+\cdots+(-1)^n\comb{n}{n} \end{align*} \item $\nixni{0}{1}{1}{0}^k$を求めよ. \item 2次の正方行列$M_1$,$M_2$,$M_3$,$\cdots$,$M_n$は,それぞれが確 率$\Frac{1}{3}$で,$\nixni{1}{0}{0}{1}$,$\nixni{0}{1}{1}{0}$, $\nixni{0}{0}{0}{0}$のいずれかになるとする.$n$個の行列の積 $M_1M_2M_3\cdots M_n$が$\nixni{1}{0}{0}{1}$と等しくなる確率を求めよ. \end{toi} \end{FRAME} %kai \kakko{1}\ 2項定理から \[ (1+x)^n=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}x+\comb{n}{2}x^2+\comb{n}{3}x^2+\cdots+\comb{n}{n}x^n \] であり,これに$x=1$,$-1$を代入すると \begin{align*} &2^n=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\comb{n}{2}+\comb{n}{3}+\cdots+\comb{n}{n}\Tag{\maru{1}}\\ &0=\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\comb{n}{3}+\cdots+(-1)^n\comb{n}{n}\Tag{\maru{2}} \end{align*} \kakko{2}\ $A=\nixni{0}{1}{1}{0}$とおくと, \[ A^2=\nixni{0}{1}{1}{0}\nixni{0}{1}{1}{0} =\nixni{1}{0}{0}{1}=E \] したがって,自然数$l$について$A^{2l}=E^l=E$だから \[ A^k= \begin{cases} A=\mbox{\boldmath $\nixni{0}{1}{1}{0}$}&\text{($\ans{k}$\textgt{が奇数のとき})}\\[10pt] E=\mbox{\boldmath$\nixni{1}{0}{0}{1}$}&\text{($\ans{k}$\textgt{が偶数のとき})} \end{cases} \] \kakko{3}\ $M_1$から$M_n$に,$O=\nixni{0}{0}{0}{0}$がひとつも含まれず $A$が偶数個であるときである.$A$がちょうど$2m$個含まれるとき,$E$が$n-2m$ 個含まれて,その確率は \[ \comb{n}{2m}\Bigl(\Frac{1}{3}\Bigr)^{2m}\Bigl(\Frac{1}{3}\Bigr)^{n-2m} =\Frac{\comb{n}{2m}}{3^n}\enskip (m=0,\ 1,\ \cdots,\ [n/2]) \] ($n/2$以下の最大の整数を$[n/2]$で表す)だから,求める確率は, \begin{align*} &\sum_{m=0}^{[n/2]}\Frac{\comb{n}{2m}}{3^n}=\Frac{1}{3^n}\{\comb{n}{0}+\comb{n}{2}+\cdots+\comb{n}{2[n/2]}\}\\ &=\Frac{1}{3^n}\cdot\Frac{1}{2}\{\maru{1}+\maru{2}\}\\ &\ans{=\Frac{2^{n-1}}{3^n}} \end{align*} %\betu %\chu \end{document}