すうじあむ

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\documentclass[a5j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$，$k$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．%(配点30点) \begin{toi} \item $(1+x)^n$の展開式を用いて，次の等式を示せ． \begin{align*} &2^n=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\comb{n}{2}+\comb{n}{3}+\cdots+\comb{n}{n}\\ &0=\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\comb{n}{3}+\cdots+(-1)^n\comb{n}{n} \end{align*} \item $\nixni{0}{1}{1}{0}^k$を求めよ． \item 2次の正方行列$M_1$，$M_2$，$M_3$，$\cdots$，$M_n$は，それぞれが確 率$\Frac{1}{3}$で，$\nixni{1}{0}{0}{1}$，$\nixni{0}{1}{1}{0}$， $\nixni{0}{0}{0}{0}$のいずれかになるとする．$n$個の行列の積 $M_1M_2M_3\cdots M_n$が$\nixni{1}{0}{0}{1}$と等しくなる確率を求めよ． \end{toi} \end{FRAME} %kai \kakko{1}\ 2項定理から \[ (1+x)^n=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}x+\comb{n}{2}x^2+\comb{n}{3}x^2+\cdots+\comb{n}{n}x^n \] であり，これに$x=1$，$-1$を代入すると \begin{align*} &2^n=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\comb{n}{2}+\comb{n}{3}+\cdots+\comb{n}{n}\Tag{\maru{1}}\\ &0=\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-\comb{n}{3}+\cdots+(-1)^n\comb{n}{n}\Tag{\maru{2}} \end{align*} \kakko{2}\ $A=\nixni{0}{1}{1}{0}$とおくと， \[ A^2=\nixni{0}{1}{1}{0}\nixni{0}{1}{1}{0} =\nixni{1}{0}{0}{1}=E \] したがって，自然数$l$について$A^{2l}=E^l=E$だから \[ A^k= \begin{cases} A=\mbox{\boldmath $\nixni{0}{1}{1}{0}$}&\text{($\ans{k}$\textgt{が奇数のとき})}\\[10pt] E=\mbox{\boldmath$\nixni{1}{0}{0}{1}$}&\text{($\ans{k}$\textgt{が偶数のとき})} \end{cases} \] \kakko{3}\ $M_1$から$M_n$に，$O=\nixni{0}{0}{0}{0}$がひとつも含まれず $A$が偶数個であるときである．$A$がちょうど$2m$個含まれるとき，$E$が$n-2m$ 個含まれて，その確率は \[ \comb{n}{2m}\Bigl(\Frac{1}{3}\Bigr)^{2m}\Bigl(\Frac{1}{3}\Bigr)^{n-2m} =\Frac{\comb{n}{2m}}{3^n}\enskip (m=0,\ 1,\ \cdots,\ [n/2]) \] ($n/2$以下の最大の整数を$[n/2]$で表す)だから，求める確率は， \begin{align*} &\sum_{m=0}^{[n/2]}\Frac{\comb{n}{2m}}{3^n}=\Frac{1}{3^n}\{\comb{n}{0}+\comb{n}{2}+\cdots+\comb{n}{2[n/2]}\}\\ &=\Frac{1}{3^n}\cdot\Frac{1}{2}\{\maru{1}+\maru{2}\}\\ &\ans{=\Frac{2^{n-1}}{3^n}} \end{align*} %\betu %\chu \end{document}