すうじあむ

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\documentclass[a4j]{jsarticle} \usepackage{mystyle} \begin{document} \input{size} \begin{FRAME} \quad $n$を1以上の整数とする．次の2つの命題はそれぞれ正しいか．正しいときは証 明し，正しくないときはその理由を述べよ． \textgt{命題}\ans{p}：ある$n$に対して，$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$は共 に有理数である． \textgt{命題}\ans{q}：すべての$n$に対して，$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無 理数である． \end{FRAME} %\marukai\ \textgt{命題}\ans{p} \quad 「ある$n$に対して，$\sqrt{n}$，$\sqrt{n+1}$がともに有理数である」と仮定 する．このとき \[ \sqrt{n}=\Frac{p}{q} \quad(p,\ q \text{は互いに素な正の整数}) \] とおけ，$p^2=nq^2$となり，$p^2$は$q$で割り切れる．すると$q$が素因数をも つならば，$p$も同じ素因数をもつことになり互いに素に反するので，$q$は素因 数をもちえない．ゆえに$q=1$となり$\sqrt{n}=p$は正の整数である． \quad 同様にして$\sqrt{n+1}$も正の整数であり，$\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$によ り$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\geqq1$．ところが， \[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<1 \] となり矛盾する． \quad したがって，命題$p$は\textgt{正しくない}． \newpage \textgt{命題}\ans{q} \quad 命題$q$を否定して，「ある$n$に対して，$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は有理数 である」を仮定する．このとき$r$を正の有理数として \[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=r \] とおける．すると \[ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\Frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\Frac{1}{r} \] となるので， \begin{align*} &\sqrt{n+1}=\Frac{1}{2}\Bigl(r+\Frac{1}{r}\Bigr)\\ &\sqrt{n}=\Frac{1}{2}\Bigl(-r+\Frac{1}{r}\Bigr) \end{align*} これらの右辺はともに有理数だから，$\sqrt{n+1}$，$\sqrt{n}$はともに有理数 となり，命題$p$が偽であることに反する． \quad したがって，命題$q$は\textgt{正しい}．\medskip \end{document}