同志社大学 理工 2010年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 同志社大学
学科・方式 理工
年度 2010年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  数列 $\{a_n\}$ は \smallskip$a_1 = 1,\enskip a_n = \dfrac{n-1}{n+1}a_{n-1} \enskip (n \geqq 2)$ をみたしている. $\{a_n\}$ の一般項を $n$ を用いて表せ. \item  数列 $\{b_n\}$ は \smallskip$b_1 = 1,\enskip b_n = \dfrac{n^2 + n + 1}{n^2 - n + 1}b_{n-1} \enskip (n \geqq 2)$ を みたしている. $\{b_n\}$ の一般項を $n$ を用いて表せ. \item  数列 $\{c_n\}$ は \smallskip$c_1 = 1,\enskip c_n = \dfrac{n^3-1}{n^3+1}c_{n-1} \enskip (n \geqq 2)$ をみたしている. $\{c_n\}$ の一般項を $n$ を用いて表せ. \item  上の(3)の数列 $\{c_n\}$ に対し, $S_n = \sum\limits_{k=1}^{n} c_k$ を $n$ を用いて表せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item \hspace*{2.55zw}$ \displaystyle a_n = \dfrac{n-1}{n+1}a_{n-1}$ \vskip 0.5zw の両辺に $n(n+1)$ を掛けて, \begin{gather*} n(n+1)a_n = (n-1)na_{n-1} \end{gather*} よって数列 $\{n(n+1)a_n\}$ は定数列である. したがって, \begin{gather*} n(n+1)a_n = 1 \cdot 2 \cdot a_1 = 2 \qquad \therefore \,\,\, a_n = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{2}{n(n+1)}}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \item \hspace*{2.55zw}$ \displaystyle b_n = \dfrac{n^2 + n + 1}{n^2 - n + 1}b_{n-1}$ \vskip 0.5zw を $n^2 + n + 1$ で割って, \begin{gather*} \frac{1}{n(n+1) + 1}b_n = \frac{1}{(n-1)n + 1}b_{n-1} \end{gather*} よって数列 $\dfrac{a_n}{n(n+1) + 1}$ は定数列である. したがって, \begin{gather*} \frac{b_n}{n(n+1) + 1} = \frac{b_1}{1 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{3} \qquad \therefore \,\,\, b_n = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{n^2 + n + 1}{3}}} \tag*{$\cdots\ans$} \end{gather*} \item  (1),\enskip(2)より \begin{gather*} a_nb_n = \frac{n-1}{n+1}a_{n-1} \cdot \frac{n^2 + n + 1}{n^2 - n + 1}b_{n-1} = \frac{n^3-1}{n^3+1}a_{n-1}b_{n-1} \end{gather*} よって数列 $\{a_nb_n\}$ は $\{c_n\}$ と同じ漸化式をみたす. さらに $a_1 = b_1 = 1$ より $a_1b_1 = 1 = c_1$. したがって $\{a_nb_n\}$ と $\{c_n\}$ の第$n$項は一致する.  ゆえに \begin{gather*} c_n = a_nb_n = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n^2 + n + 1}{3} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{2(n^2 + n + 1)}{3n(n+1)}}} \tag*{$\cdots\ans$} \end{gather*} \item  (3)の結果より \begin{align*} \sum_{k=1}^n c_k &= \frac{2}{3}\sum_{k=1}^n \frac{k^2 + k + 1}{k(k+1)} = \frac{2}{3}\sum_{k=1}^n \left\{1 + \frac{1}{k(k+1)} \right\} \\[1mm] &= \frac{2}{3}n + \frac{2}{3}\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \frac{2}{3}n + \frac{2}{3}\! \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} \right) \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{2}{3}\! \left(n + 1 - \frac{1}{n+1} \right) }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}