大阪市立大学 前期<文系> 2001年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪市立大学
学科・方式 前期<文系>
年度 2001年度
問No 問1
学部 商学部 ・ 経済学部 ・ 法学部 ・ 文学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  数列 $\{a_n\}$ は % $a_1 = 1,\,\,\,(a_{n+1} - a_n)^2 = a_{n+1} + a_n,\,\,\, a_{n+1} > a_n \\ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ を満たしている. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_2$ を求めよ. \item  $b_n = a_{n+1} - a_n\,\,\, (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ とするとき, 数列 $\{b_n\}$ は公差が1の等差数列であることを示せ. \item  数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  与漸化式を \begin{align*} (a_{n+1} - a_n)^2 = a_{n+1} + a_n \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} とおく. \MARU{1}より \begin{gather*} (a_2 - a_1)^2 = a_2 + a_1 \\ \qquad a_2(a_2 - 3) = 0 \\ \therefore \,\,\, a_2 = \textcolor{red}{\boldsymbol{3}} \quad (\,\because\,\,\,a_2 > a_1 = 1 > 0) \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \item  $\{b_n\}$ が公差1の等差数列であることは, \begin{align*} b_{n+1} - b_n = 1 \tag*{$\cdott{\color[named]{OrangeRed}(\raisebox{-0.12zw}{\ding{"AA}})}$} \end{align*} と同値.よってこれを示す. \MARU{1}より \begin{align*} {b_n}^2 = a_{n+1} + a_n \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{2}で $n$ を $n+1$ にとり換えて \begin{align*} {b_{n+1}}^2 = a_{n+2} + a_{n+1} \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} ${\color[named]{OrangeRed}(\raisebox{-0.12zw}{\ding{"AA}})}$ を目標に変形する. $\MARU{3} - \MARU{2}$より \begin{gather*} {b_{n+1}}^2 - {b_n}^2 = a_{n+2} - a_n \\ \therefore \,\,\, (b_{n+1} + b_n)(b_{n+1} - b_n) = a_{n+2} - a_n \end{gather*} 左辺の $b_{n+1} + b_n$ の部分のみを % $a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}$ で書き直すと, \begin{gather*} \{(a_{n+2} - a_{n+1}) + (a_{n+1} - a_n)\}(b_{n+1} - b_n) = a_{n+2} - a_n \\ \qquad (a_{n+2} - a_n)(b_{n+1} - b_n) = a_{n+2} - a_n \\ \therefore \,\,\, b_{n+1} - b_n = 1 \quad(\,\because\,\,\,a_{n+2} - a_n > 0) \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} これで ${\color[named]{OrangeRed}(\raisebox{-0.12zw}{\ding{"AA}})}$ は 示された. \hfill ■ \newpage \item  \MARU{2}より $\{b_n\}$ は公差1,初項 \begin{align*} b_1 = a_2 - a_1 = 3-1 = 2 \end{align*} の等差数列だから \begin{align*} b_n = 2 + 1 \cdot (n-1) = n+1 \end{align*} ゆえに,$n \geqq 2$ のとき \begin{align*} a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 1 + \frac{(2 + n)(n-1)}{2} = \frac{1}{2}n(n+1) \end{align*} これは $n = 1$ でも成り立つ. 以上より \begin{align*} a_n = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}n(n+1)}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}