九州大学 文系 2010年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 九州大学
学科・方式 文系
年度 2010年度
問No 問4
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  以下の問に答えよ. 答えだけでなく, 必ず証明も記せ. \begin{enumerate} \item[(1)]  和 $1 + 2 + \cdots + n$ を $n$ の多項式で表せ. \item[(2)]  和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ を $n$ の多項式で表せ. \item[(3)]  和 $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$ を $n$ の多項式で表せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $(k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1$ より % $k = \dfrac{1}{2}\{(k + 1)^2 - k^2\} - \dfrac{1}{2}$ だから, \begin{gather*} 1 + 2 + \cdots + n = \sum_{k=1}^n k \\[1mm] = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \{(k + 1)^2 - k^2\} - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n 1 \\[1mm] = \frac{1}{2}\{(n + 1)^2 - 1\} - \frac{1}{2}n = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}(n^2 + n)}} \tag*{$\Ans\ \MARU{1}$} \end{gather*} \item  $(k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ より \smallskip% $k^2 = \dfrac{1}{3}\{(k + 1)^3 - k^3\} - k - \dfrac{1}{3}$ だから \MARU{1}を用いて, \begin{gather*} 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \sum_{k=1}^n k^2 \\[1mm] = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^n \{(k+1)^3 - k^3\} - \sum_{k=1}^n k - \frac{1}{3}\sum_{k=1}^n 1 \\[1mm] = \frac{1}{3}\{(n + 1)^3 - 1\} - \frac{1}{2}(n^2 + n) - \frac{1}{3}n \\[1mm] = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n)}} \tag*{$\Ans\ \MARU{2}$} \end{gather*} \item  $(k + 1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1$ より \smallskip% $k^3 = \dfrac{1}{4}\{(k+1)^4 - k^4\} - \dfrac{3}{2}k^2 - k - \dfrac{1}{4}$ だから\MARU{1},\enskip\MARU{2}を用いて, \begin{gather*} 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \sum_{k=1}^n k^3 \\[1mm] = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n \{(k+1)^4 - k^4\} - \frac{3}{2}\sum_{k=1}^n k^2 - \sum_{k=1}^n k - \frac{1}{4}\sum_{k=1}^n 1 \\[1mm] = \frac{1}{4}\{(n + 1)^4 - 1\} - \frac{1}{4}(2n^3 + 3n^2 + n) - \frac{1}{2}(n^2 + n) - \frac{1}{4}n \\[1mm] = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{4}(n^4 + 2n^3 + n^2)}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \end{enumerate} \end{document}