大阪大学 前期理系 2017年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2017年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \def\Op{{\mathrm{O}}} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $xy$平面で放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2$ で囲まれた図形を, $y$軸のまわりに1回転してできる回転体を $L$ とおく. 回転体 $L$ に含まれる点のうち, $xy$平面上の直線 $x = 1$ からの距離が1以下のもの全体がつくる 立体を $M$ とおく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $t$ を $0 \leqq t \leqq 2$ を満たす実数とする. \smallskip $xy$平面上の点$(0,\ t)$を通り,\\ $y$軸に直交する平面による $M$ の切り口の面積を $S(t)$ とする. \smallskip \\ $t = (2\cos\theta)^2\enskip \left(\dfrac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ のとき, $S(t)$ を $\theta$ を用いて表せ. \item  $M$ の体積 $V$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $z$軸を$x$軸,$y$軸に垂直になるように入れる.  $M$ と平面 $y = t \enskip(0 \leqq t \leqq 2)$ の 共通集合を $M_t$ のように記す. $S(t)$ は $M_t$ の面積である. \begin{align*} K = \{(x,\ y,\ z)\>|\>(x,\ y,\ z)と\>x=1\>の距離は1以下\} \end{align*} とおくと $M = L \cap K$ だから, \begin{align*} M_t = L_t \cap K_t \end{align*} ここで, \begin{align*} (x,\ y,\ z) \in L_t \enskip \Longleftrightarrow \enskip{} & y \geqq x^2 + z^2\enskip\wedge\enskip y = t \\ \Longleftrightarrow \enskip{} & x^2 + y^2 \leqq (\sqrt{\vphantom{b} t}\,)^2 \enskip \wedge\enskip y = t \\ (x,\ y,\ z) \in K_t \enskip \Longleftrightarrow \enskip{} & (x - 1)^2 + z^2 \leqq 1 \enskip \wedge \enskip y = t \end{align*} よって平面 $y = t$ を$xz$平面と同一視すれば $M_t$ の 定義式は次の通り. \begin{align*} x^2 + z^2 \leqq (\sqrt{\vphantom{b} t}\,)^2 \enskip \wedge \enskip (x - 1)^2 + z^2 \leqq 1 \end{align*} $t = (2\cos\theta)^2$ のとき $M_t$ を図示すると 下左図の斜線部分のようになる. \begin{center} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 29.5500, 23.7600)( 8.1000,-32.8200) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 978 2198 3765 2198 % \special{pn 8}% \special{pa 978 2198}% \special{pa 3766 2198}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 3766 2198}% \special{pa 3698 2178}% \special{pa 3712 2198}% \special{pa 3698 2218}% \special{pa 3766 2198}% \special{fp}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2061 2198 2061 2972 2061 2972 2061 2972 % \special{pn 8}% \special{ar 2062 2198 774 774 0.0000000 6.2831853}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2061 3282 2061 959 % \special{pn 8}% \special{pa 2062 3282}% \special{pa 2062 960}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2062 960}% \special{pa 2042 1026}% \special{pa 2062 1012}% \special{pa 2082 1026}% \special{pa 2062 960}% \special{fp}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2683 2200 2683 2819 2683 2819 2683 2819 % \special{pn 8}% \special{ar 2684 2200 620 620 0.0000000 6.2831853}% % STR 2 0 3 0 % 3 3670 2249 3670 2326 2 0 % $x$ \put(36.7000,-23.2600){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2875 2247 2875 2325 2 0 % \scalebox{0.75}{$2\cos\theta$} \put(28.7500,-23.2500){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.75}{$2\cos\theta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1920 2246 1920 2323 2 0 % {\small O} \put(19.2000,-23.2300){\makebox(0,0)[lb]{{\small O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1910 999 1910 1076 2 0 % $y$ \put(19.1000,-10.7600){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 810 1316 810 1393 2 0 % \scalebox{0.8}{$x^2 + z^2 = (2\cos\theta)^2$} \put(8.1000,-13.9300){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{$x^2 + z^2 = (2\cos\theta)^2$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3005 1554 3005 1632 2 0 % \scalebox{0.8}{$(x-1)^2 + z^2 = 1$} \put(30.0500,-16.3200){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{$(x-1)^2 + z^2 = 1$}}}% % LINE 3 0 3 0 % 60 2760 1875 2140 2495 2770 1895 2150 2515 2780 1915 2165 2529 2790 1935 2175 2549 2795 1959 2190 2565 2805 1979 2200 2585 2810 2005 2215 2599 2815 2029 2230 2615 2820 2055 2245 2629 2825 2079 2260 2645 2830 2105 2275 2659 2830 2135 2290 2675 2835 2159 2310 2685 2835 2189 2325 2699 2835 2219 2340 2715 2830 2255 2360 2725 2830 2285 2380 2735 2825 2319 2395 2749 2820 2355 2415 2759 2810 2395 2440 2765 2795 2439 2460 2775 2780 2485 2480 2785 2755 2539 2505 2789 2715 2609 2525 2799 2750 1855 2130 2475 2740 1835 2120 2455 2730 1815 2110 2435 2720 1795 2105 2409 2710 1775 2095 2389 2695 1759 2090 2365 % \special{pn 4}% \special{pa 2760 1876}% \special{pa 2140 2496}% \special{fp}% \special{pa 2770 1896}% \special{pa 2150 2516}% \special{fp}% \special{pa 2780 1916}% \special{pa 2166 2530}% \special{fp}% \special{pa 2790 1936}% \special{pa 2176 2550}% \special{fp}% \special{pa 2796 1960}% \special{pa 2190 2566}% \special{fp}% \special{pa 2806 1980}% \special{pa 2200 2586}% \special{fp}% \special{pa 2810 2006}% \special{pa 2216 2600}% \special{fp}% \special{pa 2816 2030}% \special{pa 2230 2616}% \special{fp}% \special{pa 2820 2056}% \special{pa 2246 2630}% \special{fp}% \special{pa 2826 2080}% \special{pa 2260 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\therefore \enskip \angle\A\Op\D = \theta \end{gather*} \begin{center} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 30.8800, 24.7900)( 10.1000,-31.8700) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1186 2055 4098 2055 % \special{pn 8}% \special{pa 1186 2056}% \special{pa 4098 2056}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 4098 2056}% \special{pa 4032 2036}% \special{pa 4046 2056}% \special{pa 4032 2076}% \special{pa 4098 2056}% \special{fp}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2317 2055 2317 2863 2317 2863 2317 2863 % \special{pn 8}% \special{ar 2318 2056 808 808 0.0000000 6.2831853}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2317 3187 2317 760 % \special{pn 8}% \special{pa 2318 3188}% \special{pa 2318 760}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2318 760}% \special{pa 2298 828}% \special{pa 2318 814}% \special{pa 2338 828}% \special{pa 2318 760}% \special{fp}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2967 2056 2967 2703 2967 2703 2967 2703 % \special{pn 8}% \special{ar 2968 2056 648 648 0.0000000 6.2831853}% % STR 2 0 3 0 % 3 3999 2108 3999 2188 2 0 % $x$ \put(39.9900,-21.8800){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1794 2261 1794 2341 2 0 % \scalebox{0.75}{$2\cos\theta$} \put(17.9400,-23.4100){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.75}{$2\cos\theta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2170 2104 2170 2185 2 0 % {\small O} \put(21.7000,-21.8500){\makebox(0,0)[lb]{{\small O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2170 798 2170 878 2 0 % $y$ \put(21.7000,-8.7800){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2821 3187 2821 766 % \special{pn 8}% \special{pa 2822 3188}% \special{pa 2822 766}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1010 1132 1010 1213 2 0 % \scalebox{0.8}{$x^2 + z^2 = (2\cos\theta)^2$} \put(10.1000,-12.1300){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{$x^2 + z^2 = (2\cos\theta)^2$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3304 1381 3304 1463 2 0 % \scalebox{0.8}{$(x-1)^2 + z^2 = 1$} \put(33.0400,-14.6300){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{$(x-1)^2 + z^2 = 1$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2883 860 2883 923 2 0 % \scalebox{0.8}{$x = 2\cos^2\theta$} \put(28.8300,-9.2300){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{$x = 2\cos^2\theta$}}}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2315 2056 2821 1429 % \special{pn 13}% \special{pa 2316 2056}% \special{pa 2822 1430}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 2549 1924 2549 1955 2 0 % \scalebox{0.8}{$\theta$} \put(25.4900,-19.5500){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{$\theta$}}}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2398 2011 2398 2138 2879 2188 2643 1486 % \special{pn 4}% \special{ar 2398 2012 128 128 5.1490161 6.2831853}% \special{ar 2398 2012 128 128 0.0000000 0.3526050}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2398 2011 2398 2100 3023 2384 2588 1429 % \special{pn 4}% \special{ar 2398 2012 90 90 5.0279413 6.2831853}% \special{ar 2398 2012 90 90 0.0000000 0.5380632}% % STR 2 0 3 0 % 3 3142 2219 3142 2282 2 0 % \scalebox{0.75}{$\pi-2\theta$} \put(31.4200,-22.8200){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.75}{$\pi-2\theta$}}}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2967 2056 2821 1429 % \special{pn 13}% \special{pa 2968 2056}% \special{pa 2822 1430}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 2871 1974 2871 2037 2 0 % \scalebox{0.7}{$\bullet$} \put(28.7100,-20.3700){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.7}{$\bullet$}}}% % POLYLINE 2 0 3 0 % 4 2821 1955 2720 1955 2720 2056 2720 2056 % \special{pn 8}% \special{pa 2822 1956}% \special{pa 2720 1956}% \special{pa 2720 2056}% \special{pa 2720 2056}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2967 2056 2821 2682 % \special{pn 13}% \special{pa 2968 2056}% \special{pa 2822 2682}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2315 2056 2821 2682 % \special{pn 13}% \special{pa 2316 2056}% \special{pa 2822 2682}% \special{fp}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2398 2099 2398 1973 2643 2623 2879 1922 % \special{pn 4}% \special{ar 2398 2100 126 126 5.9305804 6.2831853}% \special{ar 2398 2100 126 126 0.0000000 1.1334381}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2398 2102 2398 2014 2588 2683 3023 1729 % \special{pn 4}% \special{ar 2398 2102 88 88 5.7451221 6.2831853}% \special{ar 2398 2102 88 88 0.0000000 1.2547363}% % STR 2 0 3 0 % 3 2870 2083 2870 2146 2 0 % \scalebox{0.7}{$\bullet$} \put(28.7000,-21.4600){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.7}{$\bullet$}}}% % ELLIPSE 3 0 3 0 % 4 3044 2222 3201 2428 2784 2032 3221 2314 % \special{pn 4}% \special{ar 3044 2222 158 206 0.3766040 3.6503225}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2881 1299 2954 1770 2922 2208 3330 1822 % \special{pn 4}% \special{ar 2882 1300 478 478 0.8613833 1.5257224}% % STR 2 0 3 0 % 3 3204 1610 3204 1662 2 0 % \scalebox{0.8}{1} \put(32.0400,-16.6200){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.8}{1}}}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2316 2073 2337 2459 1841 2679 2828 2658 % \special{pn 4}% \special{ar 2316 2074 388 388 0.8518453 2.2355984}% % STR 2 0 3 0 % 3 2853 1252 2853 1356 2 0 % {\footnotesize A} \put(28.5300,-13.5600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3163 1913 3163 2018 2 0 % {\footnotesize B} \put(31.6300,-20.1800){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2849 2739 2849 2843 2 0 % {\footnotesize C} \put(28.4900,-28.4300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2985 1903 2985 2007 2 0 % {\footnotesize E} \put(29.8500,-20.0700){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize E}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2682 2091 2682 2195 2 0 % {\footnotesize D} \put(26.8200,-21.9500){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% \end{picture}% \end{center}  $\triangle\A\Op\E$は $\E\Op = \E\A = 1$ の二等辺三角形だから % $\angle\Op\E\A = \pi - 2\theta$.  以上より, \begin{align*} S(t) &= (扇形\Op\A\B\C) + (扇形\E\A\Op\C) - 2\,\triangle\Op\A\E \\ &= \frac{1}{2}(2\cos\theta)^2 \cdot 2\theta + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 2(\pi - 2\theta) - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2\sin(\pi - 2\theta) \\ &= 4\theta\cos^2\theta + \pi - 2\theta - \sin2\theta \\ &= 2\theta(1 + \cos2\theta) + \pi - 2\theta - \sin2\theta \\ &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ 2\theta\cos2\theta - \sin2\theta + \pi }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $V = \displaystyle\int_0^2 S(t)\,dt$ で与えられる. \smallskip  $t = (2\cos\theta)^2 = 2(1 + \cos2\theta)$ より % \scalebox{0.9}{$\begin{array}{c||ccc} t & 0 & \to & 2 \\ \hline \theta & \pi\slash 2 & \to & \pi \slash 4 \end{array}$} および \begin{align*} S(t)\,dt &= (2\theta\cos2\theta - \sin2\theta + \pi) \cdot (-4\sin2\theta)\,d\theta \\ &= (-8\theta\sin2\theta\cos2\theta + 4\sin^22\theta - 4\pi\sin2\theta)\,d\theta \\ &= \{-4\theta\sin4\theta + 2(1 - \cos4\theta) - 4\pi\sin2\theta\}\,d\theta \end{align*} などから, \begin{align*} V = \int_\frac{\pi}{2}^\frac{\pi}{4}\{-4\theta\sin4\theta + 2(1 - \cos4\theta) - 4\pi\sin2\theta\}\,d\theta \end{align*} ここで $(\theta\cos4\theta)^\prime = \cos4\theta - 4\theta\sin4\theta$ より % $-4\theta\sin4\theta = \bigg(\theta\cos4\theta - \dfrac{1}{4}\sin4\theta \bigg)^{\!\prime}$ だから \begin{align*} V &= \lll{\theta\cos4\theta - \frac{1}{4}\sin4\theta + 2\theta - \frac{1}{2}\sin4\theta + 2\pi\cos2\theta }\rrr_\frac{\pi}{2}^\frac{\pi}{4} \\[1mm] &= -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - \bigg({\frac{\pi}{2} + \pi - 2\pi}\bigg) \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{3\pi}{4}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}