大阪市立大学 前期<文系> 2006年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪市立大学
学科・方式 前期<文系>
年度 2006年度
問No 問1
学部 商学部 ・ 経済学部 ・ 法学部 ・ 文学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x < y < z$ のとき, 不等式 \[ xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x > 0 \] が成り立つことを示せ. \item  $1 < a < b < c$ のとき, 不等式 \[ \log_a\dfrac{c}{b} + \log_b\dfrac{a}{c} + \log_c\dfrac{b}{a} > 0 \] が成り立つことを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A = xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x$ とおく. \begin{align*} A &= (z - y)x^2 - (z^2 - y^2)x + yz(z - y) \\ &= (z - y)\{x^2 - (y + z)x + yz\} \\ &= (z - y)(x - y)(x - z) = {}\underbrace{(z - y)}_{正} \underbrace{(z - x)}_{正} \underbrace{(y - x)}_{正}{} > 0 \tag*{■} \end{align*} \item  $S = \log_a\dfrac{c}{b} + \log_b\dfrac{a}{c} + \log_c\dfrac{b}{a}$ とおく. 底を2で統一すれば, \begin{align*} S = \frac{\>\log_2\dfrac{c}{\mathstrut b}\>}{\log_2 a} + \frac{\>\log_2\dfrac{a}{\mathstrut c}\>}{\log_2 b} + \frac{\>\log_2\dfrac{b}{\mathstrut a}\>}{\log_2 c} = \frac{1}{(\log_2 a)(\log_2 b)(\log_2 c)}T \tag*{$\cdotssp\MARU{1}$} \end{align*} ただし, \begin{align*} T &= (\log_2 b)(\log_2 c)\log_2 \frac{c}{b} + (\log_2 c)(\log_2 a)\log_2 \frac{a}{c} \\[1mm] &\qquad{} + (\log_2 a)(\log_2 b)\log_2 \frac{b}{a} \\ &= (\log_2 b)(\log_2 c)(\log_2 c - \log_2 b) + (\log_2 c)(\log_2 a)(\log_2 a - \log_2 c) \\ &\qquad{} + (\log_2 a)(\log_2 b)(\log_2 b - \log_2 a) \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} ここで $x = \log_2 a,\enskip y = \log_2 b,\enskip z = \log_2 c$ とおけば, $1 < a < b < c\enskip(仮定)$ より $x < y < z$. したがって(1)の結果より \begin{align*} T &= yz(z - y) + zx(x - z) + xy(y - x) \\ &= xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 -z^2x \\ &= A > 0 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{3}より $S > 0$ を得る. \hfill ■ \end{enumerate} \end{document}