信州大学 前期<理系> 1999年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 信州大学
学科・方式 前期<理系>
年度 1999年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 農学部 ・ 工学部
カテゴリ 方程式と不等式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a_i,\ b_i\,\,\,(i = 1,\ 2,\ 3)$ を実数とするとき, 次の不等式を証明せよ. \begin{align*} ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \geqq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \end{align*} \item  実数 $x_i,\ y_i,\ z_i\,\,\,(i = 1,\ 2)$ が \begin{align*} {x_1}^2 + {y_1}^2 - {z_1}^2 + 1 = 0,\quad {x_2}^2 + {y_2}^2 - {z_2}^2 + 1 = 0,\quad z_1z_2 > 0 \end{align*} を満たしているとする.このとき不等式 \begin{align*} x_1x_2 + y_1y_2 - z_1z_2 + 1 \leqq 0 \end{align*} が成り立つことを証明せよ. また,等号が成立するのは \begin{align*} x_1 = x_2,\quad y_1 = y_2,\quad z_1 = z_2 \end{align*} のときに限ることを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\veca = (a_1,\ a_2,\ a_3),\,\,\, \vecb = (b_1,\ b_2,\ b_3)$ とし, $\theta$ を $\veca$ と $\vecb$ のなす角とすると, \begin{gather*} \zettaiti{\a \cdot \b} = \zettaiti{\a} \cdot \zettaiti{\b} \cdot \zettaiti{\cos\theta} \leqq \zettaiti{\a} \cdot \zettaiti{\b} \\ \qquad \zettaiti{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3} \leqq \sqrt{\vphantom{b} {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^3} \sqrt{\vphantom{b} {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2} \\ \therefore \,\,\, (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 \leqq ({a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2) ({b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2) \end{gather*} これで不等式は示された. 等号成立条件は \begin{gather*} \zettaiti{\cos\theta} = 1 \quad より \quad \theta = 0\enskip または\enskip \pi \\ すなわち \quad \veca \heikou \vecb \tag*{$\cdott {\color[named]{Magenta}(\raisebox{-0.12zw}{\ding{"AA}})}$} \end{gather*} のときである. \hfill ■ \item  仮定から \begin{align*} {x_1}^2 + {y_1}^2 + 1 = {z_1}^2 \enskip\cdots\cdotssp\MARU{1}, && {x_2}^2 + {y_2}^2 + 1 = {z_2}^2 \enskip\cdots\cdotssp\MARU{2} \end{align*} $a_1 = x_1,\,\,\,a_2 = y_1,\,\,\,a_3 = 1,\,\,\, b_1 = x_2,\,\,\,b_2 = y_2,\,\,\,b_3 = 1$ とし \smallskip% $\veca = (x_1,\ y_1,\ 1),\\ \vecb = (x_2,\ y_2,\ 1)$ に対して (1)の不等式を用いれば, \begin{align*} x_1x_2 + y_1y_2 + 1 &\leqq \zettaiti{x_1x_2 + y_1y_2 + 1} \\ &\leqq \sqrt{\vphantom{b} {x_1}^2 + {y_1}^2 + 1} \sqrt{\vphantom{b} {x_2}^2 + {y_2}^2 + 1} \\ &= \sqrt{\vphantom{b} {z_1}^2{z_2}^2} = z_1z_2 \quad(\,\because\,\,\,z_1z_2 > 0) \end{align*} \vspace{-8mm} \begin{align*} \therefore \,\,\, x_1x_2 + y_1y_2 - z_1z_2 + 1 \leqq 0 \tag*{$\cdott{\color[named]{OliveGreen}(\spadesuit)}$} \end{align*} よって不等式は示された. \newpage  ${\color[named]{OliveGreen}(\spadesuit)}$ で等号が 成立するのは ${\color[named]{Magenta} (\raisebox{-0.12zw}{\ding{"AA}})}$ より \[ (x_2,\ y_2,\ 1) = k(x_1,\ y_1,\ 1) \] をみたす実数 $k$ が存在するときだから, \begin{align*} k = 1,\quad x_1 = x_2,\quad y_1 = y_2 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{3}より \begin{gather*} {z_1}^2 = {x_1}^2 + {y_1}^2 + 1 = {x_2}^2 + {y_2}^2 + 1 = {z_2}^2 \qquad \therefore \,\,\, z_1 = \pm z_2 \end{gather*} $z_1 z_2 > 0$ より $z_1$ と $z_2$ は同符号だから, \begin{align*} z_1 = z_2 \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} \MARU{3},\enskip\MARU{4}より % ${\color[named]{OliveGreen}(\spadesuit)}$ で等号が成立するのは, \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{ x_1 = x_2,\quad y_1 = y_2,\quad z_1 = z_2 }} \tag*{■} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}