九州大学 文系 2005年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 九州大学
学科・方式 文系
年度 2005年度
問No 問4
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  1つのさいころを4回投げて, 出た目の数を順に $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ とする. このとき次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x_1 < x_2$ となる確率を求めよ. \item  $x_1 < x_2 < x_3$ となる確率を求めよ. \item  $x_1 < x_2$ かつ $x_2 \geqq x_3$ となる確率を求めよ. \item  $x_k \geqq x_{k+1}$ となる最小の自然数 $k$ の期待値を求めよ. ただし,\\ $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ のときは $k = 4$ と定める. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x_1 < x_2$ となる$(x_1,\ x_2)$の組は, 1\,~\,6から異なる2つの数を同時に選び, そのうちの小さい数を $x_1$ に, 大きい数を $x_2$ に割り当てる場合の数に等しいから, \begin{align*} {}_6\C_2 \times 1 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\>通り \end{align*}  $x_3,\ x_4$ には制限はない. よって求めるべき確率 $P(x_1 < x_2)$ は \begin{align*} P(x_1 < x_2) = \frac{15}{6^2} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{5}{12}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $x_1 < x_2 < x_3$ となる$(x_1,\ x_2,\ x_3)$の組は, 1\,~\,6から異なる3つの数を同時に選び, 小さい数から順に $x_1,\ x_2,\ x_3$ に割り当てる 場合の数に等しいから, \begin{align*} {}_6\C_3 \times 1 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\>通り \end{align*}  $x_4$ には制限はない. よって求めるべき確率 $P(x_1 < x_2 < x_3)$ は \begin{align*} P(x_1 < x_2 < x_3) = \frac{20}{6^3} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{5}{54}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $x_1 < x_2$ となるのは「$x_1 < x_2 < x_3$」または「$x_1 < x_2 \geqq x_3$」 のいずれかだから, \begin{gather*} P(x_1 < x_2) = P(x_1 < x_2 < x_3) + P(x_1 < x_2 \geqq x_3) \end{gather*} \vspace{-8mm} \begin{align*} \therefore \,\,\, P(x_1 < x_2 \geqq x_3) &= P(x_1 < x_2) - P(x_1 < x_2 < x_3) \\ &= \frac{5}{12} - \frac{5}{54} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{35}{108}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \medskip \item  $x_k \geqq x_{k+1}$ となる最小の自然数が $k$ のとき, \begin{align*} x_1 < x_2 < \cdots < x_{k-1} < x_k \geqq x_{k+1} \end{align*} が成り立つ. このときの確率を $P(k)$ と記す. \smallskip \begin{enumerate} \item[(i)] $k = 1$ のとき  $x_1 \geqq x_2$ となる確率に等しいから(1)の余事象を考えて, \begin{align*} P(1) = 1 - P(x_1 > x_2) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \end{align*} \item[(ii)] $X = 2$ のとき  (3)より $P(2) = \dfrac{35}{108}$. \medskip \item[(iii)] $X = 4$ のとき  (2)と同様に考える. $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ となる$(x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4)$の 組は,1から6のうちから異なる4つの数を同時に選び, 小さい数から順に $x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4$ に 割り当てる場合の数に等しく, \begin{align*} {}_6\C_4 \times 1 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\>通り \end{align*} ゆえに \begin{align*} P(4) = P(x_1 < x_2 < x_3 < x_4) = \frac{15}{6^4} = \frac{5}{432} \end{align*} \item[(iv)] $X = 3$ のとき  $x_1 < x_2 < x_3$ となるのは 「$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$」または「$x_1 < x_2 < x_3 \geqq x_4$」 のいずれか.ゆえに(3)と同様に, \begin{align*} P(3) &= P(x_1 < x_2 < x_3 \geqq x_4) \\ &= P(x_1 < x_2 < x_3) - P(x_1 < x_2 < x_3 < x_4) \\ &= \frac{5}{54} - \frac{5}{432} = \frac{35}{432} \end{align*} \end{enumerate}  (i)\,~\,(iv)より $X$ の期待値 $E(X)$ は \begin{align*} E(X) &= \sum_{k=1}^4 kP(k) = 1 \cdot \frac{7}{12} + 2 \cdot \frac{35}{108} + 3 \cdot \frac{35}{432} + 4 \cdot \frac{5}{432} = \frac{657}{432} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{73}{48}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}