東海大学 一般入試A 1999年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 東海大学
学科・方式 一般入試A
年度 1999年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 工学部 ・ 情報デザイン工学部 ・ 海洋学部 ・ 理学部 ・ 政治経済学部 ・ 体育学部 ・ 教養学部 ・ 医学部 ・ 法学部 ・ 開発工学部 ・ 健康科学部 ・ 情報理工学部 ・ 総合経営学部 ・ 国際文化学部 ・ 情報通信学部 ・ 芸術工学部 ・ 産業工学部 ・ 生物理工学部 ・ 農学部 ・ 観光学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $p$ が素数のとき, $p^a\,\,\,(aは正の整数)$ の正の約数の個数は \fbox{あ} であり, \smallskip 正の約数すべての積は $p$ の \fbox{い} 乗である.\smallskip したがって, 整数 $n > 1$ が $n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2} \cdots {p_m}^{a_m}$ と 素因数分解されるとき, $n$ の正の約数の個数は \fbox{う} である.\smallskip たとえば1320の正の約数は \fbox{え} 個ある. もし $n$ の正の約数すべての積が $n^2$ に等しいならば,\smallskip $n$ の正の約数の個数は \fbox{お} であり, このときの $m$ は \fbox{か} または \fbox{き} である. \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \vspace{2mm} 以下,正の約数を単に約数と記す. $p^a$ の約数は \[ p^0 = 1,\quad p = p^1,\quad p^2,\quad p^3,\quad \cdots,\quad p^a \] の全部で \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{a+1}}\>個 \tag*{$\cdott あ$} \end{align*} その積は \begin{align*} p^0 \cdot p^1 \cdot p^2 \cdot p^3 \cdots p^a = p^{0+1+2+ \cdots + a} = \textcolor{red} {\boldsymbol{\mbox{\large$p$}^{\frac{a(a+1)}{2}}}} \tag*{$\cdott い$} \end{align*} ゆえに, $n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2} \cdots {p_m}^{a_m}$ の約数の個数は \begin{align*} \boldsymbol{ \textcolor{red}{(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_m + 1) }}\>個 \tag*{$\cdott う\ \MARU{1}$} \end{align*} 1320を素因数分解すると, $1320 = 2^3 \times 3 \times 5 \times 11$ だから, 約数の個数は\MARU{1}より \begin{align*} (3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = \textcolor{red}{\boldsymbol{32}}\>個 \tag*{$\cdott え$} \end{align*} 次に $n$ の約数の個数を $L$ とし, $n$ の約数すべての積 $P$ が \begin{align*} P = n^2 \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} をみたす場合を考える. $n$ の約数を小さいものから順に % $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ \cdots,\ \alpha_L$ とする. \begin{align*} \beta_k = \frac{n}{\alpha_k} \quad すなわち \quad \alpha_k\beta_k = n \quad (k = 1,\ 2,\ \cdots,\ L) \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} とおけば, $\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_L$ も すべて $n$ の約数であり% {\footnotesize (大きいものから順に$\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_L$)}, \MARU{3}によって $\alpha_k$ と $\beta_k$ は1対1に対応するから, \begin{align*} \{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \cdots,\ \alpha_L\} = \{\beta_1,\ \beta_2,\ \cdots,\ \beta_L\} \end{align*} よって \begin{gather*} P = \alpha_1 \times \alpha_2 \times \cdots \times \alpha_L = \beta_1 \times \beta_2 \times \cdots \times \beta_L \\ \therefore \enskip P^2 = {}\underbrace{\,(\alpha_1 \cdot \beta_1)\,}_{n}{} \times {}\underbrace{\,(\alpha_2 \cdot \beta_2)\,}_{n}{} \times \cdots {}\underbrace{\,(\alpha_L \cdot \beta_L)\,}_{n}{} = n^L \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} \MARU{2},\enskip\MARU{4}より \begin{align*} n^L = (n^2)^2 = n^4 \qquad \therefore \enskip L = \textcolor{red}{\boldsymbol{4}} \tag*{$\cdott お\ \MARU{5}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{5}より \begin{align*} L = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_m + 1) = 4 \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{align*} もし $m \geqq 3$ ならば, \begin{align*} 4 &= L = (a_1 + 1)(a_2 + 1)(a_3 + 1) \cdots (a_m + 1) \\ &\geqq (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 > 4 \end{align*} となり矛盾. ゆえに $m = 1,\ 2$ が必要. \vspace{-2mm} \begin{enumerate} \item[(i)] $m = 1$ のとき \begin{align*} a_1 + 1 = 4 \quad すなわち \quad a_1 = 3 \end{align*} よって\MARU{6}をみたす自然数 $a_1$ は確かにある. \item[(ii)] $m = 2$ のとき \begin{gather*} (a_1 + 1)(a_2 + 1) = 4 \\ \qquad a_1 + 1 = a_2 + 1 = 2 \\ \therefore \enskip a_1 = a_2 = 1 \end{gather*} よって\MARU{6}をみたす自然数 $a_1,\ a_2$ は確かにある. \end{enumerate} (i),\enskip(ii)より \begin{align*} m = \textcolor{red}{\boldsymbol{1,\ 2}} \tag*{$\cdott か,\ き$} \end{align*} \end{document}