大阪教育大学 後期 2004年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪教育大学
学科・方式 後期
年度 2004年度
問No 問3
学部 教育学部(教員 数学教育) ・ 教育学部(教養 数理科学) ・ 教育学部(教養 自然研究) ・ 教育学部(教養 情報科学)
カテゴリ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  関数 $f(x)$ は \[ \lim_{x \to +0} f(x) = f(0) \neq 0 \] を満たし, $x < 0$ または $x \geqq 1$ のとき $f(x) = 0$ とする. さらに, $a$ と $b$ は実数の定数であって, 任意の実数 $x$ に対して, \[ f(x) = af(2x) + bf(2x - 1) \] の関係が成り立つとする. このとき次の問に答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  定数 $a$ と $f(0)$ が満たす関係式を求め, $a$ の値を決めよ. \item  $0 \leqq x < \dfrac{1}{2}$ のとき, $f(x)$ と $f(2x)$ が満たす関係式を求めよ. \item  $0 \leqq x < 1$ のとき, 自然数 $n$ に対して, \[ f(x) = f\bigg(\frac{x}{2^n} \bigg) \] が成り立つことを示せ. \item  $0 \leqq x < 1$ のとき, \[ f(x) = f(0) \] が成り立つことを示せ. また,定数 $b$ の求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item \hspace{2.55zw}$\lim\limits_{x \to +0} f(x) = f(0) \neq 0$ \hfill$\cdott\MARU{1}$ \vskip 0.5zw \hspace{2.55zw}$x < 0$ または $x \geqq 1$ のとき $f(x) = 0$ \hfill$\cdott\MARU{2}$ \vskip 0.5zw \hspace{2.55zw}$f(x) = af(2x) + bf(2x-1)$ \hfill$\cdott\MARU{3}$ \vskip 0.5zw \noindent% とする. \MARU{3}の両辺に $x = 0$ を代入して \begin{align*} f(0) = af(0) + bf(-1) \end{align*} \MARU{2}より $f(-1) = 0$ だから, \begin{align*} f(0) = af(0) \quad すなわち \quad (a - 1)f(0) = 0 \end{align*} \MARU{1}より $f(0) \neq 0$ だから \begin{align*} a = \textcolor{red}{\boldsymbol{1}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $a = 1$ を\MARU{3}に代入して, \begin{align*} f(x) = f(2x) + bf(2x - 1) \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} $0 \leqq x < \dfrac{1}{2}$ のとき $(-1 \leqq) \,\,2x - 1 < 0$ % だから\MARU{2}より $f(2x - 1) = 0$. ゆえに\MARU{4}より \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{ f(x) = f(2x) }} \tag*{$\Ans\ \MARU{5}$} \end{align*} \item  $0 \leqq x < 1$ のとき \smallskip$t = \dfrac{x}{2}$ と おけば $0 \leqq t < \dfrac{1}{2}$ だから, \MARU{5}で $x$ の代わりに $t$ とすると, \begin{align*} f(t) = f(2t) \qquad \therefore \enskip f\bigg(\frac{x}{2} \bigg) = f(x) \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{align*} $k \geqq 1$ のとき $0 \leqq x < 1$ ならば \smallskip% $0 \leqq \dfrac{x}{2^{k+1}} < \dfrac{1}{2}$ だから% \MARU{6}の $x$ を $\dfrac{x}{2^k}$ にとり換えて, $\dfrac{x}{2^{k+1}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x}{2^k}$ とみれば, \begin{align*} f\bigg(\frac{x}{2^{k+1}} \bigg) = f\bigg(\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2^k} \bigg) = f\bigg(\frac{x}{2^k} \bigg) \tag*{$\cdott\MARU{7}$} \end{align*} \MARU{6},\enskip\MARU{7}より \begin{align*} f(x) = f\bigg(\frac{x}{2} \bigg) = f\bigg(\frac{x}{2^2} \bigg) = \cdotss = f\bigg(\frac{x}{2^n} \bigg) \end{align*} ゆえに任意の自然数 $n$ に対して \begin{align*} f(x) = f\bigg(\frac{x}{2^n} \bigg) \tag*{$\cdott\MARU{8}$} \end{align*} が成り立つ. \hfill ■ \item  $0 \leqq x < 1$ のとき $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{x}{2^n} = 0$ % だから\MARU{1},\enskip\MARU{8}より \begin{align*} f(0) &= \lim_{u \to +0} f(u) \\ &= \lim_{n \to \infty}f\bigg(\frac{x}{2^n} \bigg) \quad \mbox{\footnotesize $\left(\because \,\,\, u = \dfrac{x}{2^n}\> とおいた \right)$ } \\[1mm] &= \lim_{n \to \infty}f(x) \quad (\because \,\,\,\MARU{8}) \\ &= f(x) \end{align*} ゆえに $0 \leqq x < 1$ のとき \begin{align*} f(x) = f(0) \tag*{$\cdott\MARU{9}$} \end{align*} が成り立つ. \MARU{4}の両辺に $x = \dfrac{1}{2}$ を代入して \begin{align*} f\bigg(\frac{1}{2} \bigg) = f(1) + bf(0) \tag*{$\cdott \MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{\raisebox{0.2mm}{10}}}$} \end{align*} \MARU{2}より $f(1) = 0$ であり, \MARU{1},\enskip\MARU{9}より $f\bigg(\dfrac{1}{2} \bigg) = f(0) \neq 0$ だから, \begin{align*} f(0) = bf(0) \qquad \therefore \enskip b = \textcolor{red}{\boldsymbol{1}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}