上智大学 理工学部 2002年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 上智大学
学科・方式 理工学部
年度 2002年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  容器Aには濃度20%の食塩水が400グラム(よって食塩が80グラム含まれている), 容器Bには濃度8%の食塩水が800グラムある. Aから100グラム,Bから100グラムをそれぞれ取り出したのち, Aから取り出した分をBへ, Bから取り出した分をAへ入れてよくかき混ぜる. この操作を$n$回繰り返したときの容器Aの食塩の量を$a_n$グラム, 容器Bの食塩の量を$b_n$グラムとすると, \begin{gather*} a_{n+1} = \frac{\>\fbox{ア}\>}{\>\fbox{イ}\>}a_n + \frac{\>\fbox{ウ}\>}{\>\fbox{エ}\>}b_n,\quad a_{n+1} + b_{n+1} = a_n + b_n \\[1mm] a_{n+1} = \frac{\>\fbox{オ}\>}{\>\fbox{カ}\>}a_n + \fbox{キ} \end{gather*} が成り立つ. したがって$n$回繰り返したときの容器Aの 食塩水の\smallskip{\bfseries 濃度}は \\ $\fbox{ク} + \fbox{ケ} \left(\dfrac{\>\fbox{コ}\>}{\>\fbox{サ}\>} \right)^{\!\!n}$ %である. \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \vspace{2mm} $n$回目の操作が終った時点で 容器Aの食塩水100グラム中に含まれる食塩の量は, \begin{align*} \frac{100}{400} \cdot a_n = \frac{1}{4}a_n\>グラム \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} よって,100グラムを取り出した直後にAに残っている食塩の量は \begin{align*} a_n - \frac{1}{4}a_n = \frac{3}{4}a_n\>グラム \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} 同様に,$n$回目の操作が終った時点で 容器Bの食塩水100グラム中に含まれる食塩の量は, \begin{align*} \frac{100}{800} \cdot b_n = \frac{1}{8}b_n\>グラム \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} よって100グラムを取り出した直後にBに残っている食塩の量は \begin{align*} b_n - \frac{1}{8}b_n = \frac{7}{8}b_n\>グラム \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{3},\enskip\MARU{4}より$n+1$回目 の操作をおこなうことによって, \begin{gather*} \textcolor{red}{\boldsymbol{ a_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_n + \dfrac{1}{8}b_n }} \tag*{$\cdott ア\,~\,エ\ \MARU{5}$} \\[1mm] b_{n+1} = \dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{7}{8}b_n \end{gather*} この操作を何度繰り返しても容器A,Bに含まれる 食塩の総量は変化しないから, \begin{align*} a_n + b_n = a_1 + b_1 \end{align*} 条件より, \begin{align*} a_1 = 80,\quad b_1 = 800 \cdot \frac{8}{100} = 64 \end{align*} よって, \begin{gather*} a_n + b_n = 80 + 64 = 144 \qquad \therefore \enskip b_n = 144 - a_n \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{gather*} \MARU{5},\enskip\MARU{6}より \begin{gather*} a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{1}{8}(144 - a_n) \qquad \therefore \enskip \textcolor{red}{\boldsymbol{ a_{n+1} = \frac{5}{8}a_n + 18 }} \tag*{$\cdots\cdotssp オ\,~\,キ\ \MARU{7}$} \end{gather*} 最初の状態を0回目の操作が終った直後と解釈して $a_0 = 80$ と 定義する. \MARU{7}を変形して \begin{align*} a_{n+1} - 48 = \frac{5}{8}(a_n - 48) \end{align*} これより数列 $\{a_n - 48\}$ は初項 $a_0 - 48$, 公比$\dfrac{5}{8}$の等比数列である. ゆえに, \begin{align*} a_n - 48 = 32\bigg(\frac{5}{8} \bigg)^{\!\!n} \qquad \therefore \,\,\, a_n = 48 + 32\bigg(\frac{5}{8} \bigg)^{\!\!n} \end{align*} したがって$n$回操作を繰り返した後の容器Aの食塩水の濃度は \begin{align*} \frac{a_n}{400} \times 100 = \frac{1}{4} \cdot \left\{48 + 32\bigg(\frac{5}{8} \bigg)^{\!\!n}\right\} = \textcolor{red} {\boldsymbol{12 + 8\bigg(\frac{5}{8} \bigg)^{\!\!n}}}\>% \tag*{$\cdott ク\,~\,サ$} \end{align*} \end{document}