関西学院大学 理工・教(理) 1999年度 問4

問題へ戻る

解答作成者: 森 宏征

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 関西学院大学
学科・方式 理工・教(理)
年度 1999年度
問No 問4
学部 理工学部 ・ 教育学部
カテゴリ 数列 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。 コメントをつけるにはログインが必要です。

\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = 1,\,\,\,a_2 = 4$ で, すべての自然数 $n$ に対して $a_n$ は正数であるとする. $n \geqq 3$ である任意の自然数 $n$ に対して, $\{a_n\}$ を係数にもつ3次方程式 $a_nx^3 - 3a_{n-1}x + a_{n-2} = 0$ が正の2重解をもつとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  係数 $a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2}$ の間に成り立つ関係式を求めよ. \item  $b_n = \log_4 a_n\,\,\,(n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ とおくとき, $b_n,\ b_{n-1},\ b_{n-2}$ の間に成り立つ関係式を求めよ. \item  $a_n$ を $n$ の式で表せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x) = a_nx^3 - 3a_{n-1}x + a_{n-2}$ とおく. $f(x) = 0$ が正の2重解をもつためには, $f(x)$ が $x > 0$ で極小値0をとることが必要かつ十分である. \vskip 0.4zw \begin{minipage}{200pt}  $a_{n-1} > 0,\enskip a_n > 0$ より, \begin{align*} f'(x) &= 3a_nx^2 - 3a_{n-1} \\ &= 3a_n\!\left(x - \sqrt{\vphantom{b} \frac{a_{n-1}}{a_n}} \,\right)\!\! \left(x + \sqrt{\vphantom{b} \frac{a_{n-1}}{a_n}} \,\right) \end{align*} \end{minipage} \hspace*{1zw} \begin{minipage}{100pt} \scalebox{0.85}{$ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -\sqrt{\frac{a_{n-1}}{a_n}} & \cdots & \sqrt{\frac{a_{n-1}}{a_n}} & \cdots \\[1.5mm] \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \end{array} $ } \end{minipage} \vskip 0.5zw 増減表より $f(x)$ は $x = \sqrt{\vphantom{b} \dfrac{a_{n-1}}{a_n}} \,\,(>0)$ で極小値をとるから求めるべき条件は, \begin{gather*} f\bigg({\sqrt{\vphantom{b} \frac{a_{n-1}}{a_n}}}\, \bigg) = a_n\bigg({\sqrt{\vphantom{b} \frac{a_{n-1}}{a_n}}} \,\bigg)^{\!\!3} - 3a_{n-1} \cdot \sqrt{\vphantom{b} \frac{a_{n-1}}{a_n}} + a_{n-2} = 0 \\[1mm] \qquad a_n \cdot \frac{\>{a_{n-1}}^{\frac{3}{2}}\>}{{a_n}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\>3{a_{n-1}}^{\frac{3}{2}}\>}{\mathstrut {a_n}^{\frac{1}{2}}} + a_{n-2} = 0 \\[1mm] \qquad {a_n}^{\frac{1}{2}}a_{n-2} = 2{a_{n-1}}^{\frac{3}{2}} \\ \therefore \enskip \textcolor{red} {\boldsymbol{a_n{a_{n-2}}^2 = 4{a_{n-1}}^3}} \quad \mbox{\footnotesize (両辺を2乗)} \tag*{$\Ans\ \MARU{1}$} \end{gather*} \item  \MARU{1}の両辺の $\log_4$ をとり \begin{gather*} \log_4 a_n{a_{n-2}}^2 = \log_4 4{a_{n-1}}^3 \\ \qquad \log_4 a_n + \log_4 {a_{n-2}}^2 = \log_4 {a_{n-1}}^3 + \log_4 4 \\ \therefore \,\,\, \log_4 a_n + 2\log_4 a_{n-2} = 3\log_4 a_{n-2} + 1 \end{gather*} $b_n = \log_4 a_n,\,\,\,b_{n-1} = \log_4 a_{n-1},\,\,\, b_{n-2} = \log_4 a_{n-2}$ だから \begin{gather*} b_n + 2b_{n-2} = 3b_{n-1} + 1 \\ \therefore \,\,\, \textcolor{red} {\boldsymbol{ b_n = 3b_{n-1} - 2b_{n-2} + 1 }} \tag*{$\Ans\ \MARU{2}$} \end{gather*} \item  \MARU{2}を次のように2通りに変形する. \begin{gather*} b_n - b_{n-1} = 2(b_{n-1} - b_{n-2}) + 1 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \\ b_n - 2b_{n-1} = b_{n-1} - 2b_{n-2} + 1 \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*}  $c_n = b_{n+1} - b_n$ とおくと\MARU{3}より \begin{align*} c_{n+1} = 2c_n + 1 \qquad \therefore \,\,\, c_{n+1} + 1 = 2(c_n + 1) \end{align*} よって数列 $\{c_n + 1\}$ は公比2,初項 \begin{align*} c_1 + 1 = b_2 - b_1 + 1 = \log_4 a_2 - \log_4 a_1 + 1 = \log_4 4 - \log_4 1 + 1 = 2 \end{align*} の等比数列である. ゆえに \begin{gather*} c_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \quad より \quad c_n = 2^n - 1 \\ \therefore \,\,\, b_{n+1} - b_n = 2^n - 1 \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \end{gather*}  $d_n = b_{n+1} - 2b_n$ とおくと\MARU{4}より \begin{align*} d_{n+1} = d_n + 1 \end{align*} よって数列 $\{d_n\}$ は公差1,初項 \begin{align*} d_1 = b_2 - 2b_1 = \log_4 a_2 - 2\log_4 a_1 = \log_4 4 - 2\log_4 1 = 1 \end{align*} の等差数列である. ゆえに \begin{align*} d_n = 1 + 1 \cdot (n-1) = n \qquad \therefore \,\,\, b_{n+1} - 2b_n = n \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{align*} $\MARU{5} - \MARU{6}$より \begin{gather*} b_n = 2^n - n - 1 \\ \qquad \log_4 a_n = 2^n - n - 1 \\[1mm] \therefore \,\,\, a_n = 4^{\log_4 a_n} = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \mbox{\bfseries \large 4}^{2^n - n - 1} }} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \end{enumerate} \end{document}