広島大学 理系<前> 2002年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 広島大学
学科・方式 理系<前>
年度 2002年度
問No 問2
学部 総合科学部 ・ 教育学部 ・ 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 生物生産学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  条件 $a_1=-30,\,\,\, 9a_{n+1}=a_n + \dfrac{4}{3^n}\,\,\, (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ \smallskip で定義される数列 $\{a_n\}$ がある. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $b_n = 3^na_n$ とおくとき,数列 $\{b_n\}$ の漸化式を求めよ. \item  一般項 $a_n$ を求めよ. \item  $a_n$ を最大にする $n$ の値を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  漸化式の両辺に $3^n$ を掛けて, $3^na_n,\ 3^{n+1}a_{n+1}$ の形をつくりだすと, \begin{gather*} 3^n \cdot 3^2 a_{n+1} = 3^na_n + 4 \\ \qquad 3 \cdot 3^{n+1}a_{n+1} = 3^n a_n + 4 \\ \qquad 3b_{n+1} = b_n + 4 \\ \therefore \,\,\, \textcolor{red} {\boldsymbol{b_{n+1} = \frac{1}{3}b_n + \frac{4}{3}}} \tag*{$\Ans\ \MARU{1}$} \end{gather*} \item  \MARU{1}を変形して, \begin{align*} b_{n+1} - 2 = \frac{1}{3}(b_n - 2) \end{align*} よって数列 $\{b_n - 2\}$ は初項 $b_1 - 2 = 3a_1 - 2 = -92$,\smallskip 公比$\dfrac{1}{3}$の等比数列である. ゆえに \begin{gather*} b_n - 2 = -92 \cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{\!\!n-1} \quad より \quad b_n = 2 - \frac{92}{3^{n-1}} \\[1mm] \therefore \,\,\, a_n = \frac{b_n}{3^n} = \textcolor{red} {\boldsymbol{\frac{2}{3^n} - \frac{92}{3^{2n-1}}}} \tag*{$\Ans\ \MARU{2}$} \end{gather*} \item  \MARU{2}より $a_n = \dfrac{2 \cdot 3^{n-1} - 92}{3^{2n-1}}$ だから, \begin{align*} a_{n+1} - a_n &= \frac{2 \cdot 3^n - 92}{3^{2n+1}} - \frac{2 \cdot 3^{n-1} - 92}{3^{2n-1}} \\[1mm] &= \frac{1}{3^{2n-1}} \{2 \cdot 3^n - 92 - 9(2 \cdot 3^{n-1} - 92) \} \\[1mm] &= \frac{1}{3^{2n-1}} ({-4} \cdot 3^n + 8 \cdot 92) \end{align*} よって $a_{n+1} - a_n > 0$ をみたす $n$ の条件は, \begin{gather*} {-4} \cdot 3^n + 8 \cdot 92 > 0 \\ \qquad 3^n < 2 \cdot 92 = 184 \\ \therefore \enskip n \leqq 4 \quad (\,\because\enskip 3^4 = 81 < 184 < 3^5 = 243) \end{gather*} 同様に $a_{n+1} - a_n < 0$ をみたす $n$ の条件は, \begin{align*} 3^n > 184 \qquad \therefore \enskip n \geqq 5 \end{align*} $a_{n+1} - a_n = 0$ をみたす $n$ はない. 以上より, \begin{align*} a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 > a_6 > a_7 > \cdotss \end{align*} ゆえに $a_n$ を最大にする $n$ は, \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{5}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}