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一橋大学 前期 1993年度 問3
解答の著作権は解答作成者に帰属します。無断転載、複製を禁止します。
解答作成者: 森 宏征
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入試情報
| 大学名 | 一橋大学 |
|---|---|
| 学科・方式 | 前期 |
| 年度 | 1993年度 |
| 問No | 問3 |
| 学部 | 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会 |
| カテゴリ | 方程式と不等式 ・ 微分法の応用 |
| 状態 |    |
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\def\cdotts{{\cdots\cdotssp}}
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ は $x = \alpha$ で極大値をとり，
$x = \beta$ で極小値をとる．
2点$(\alpha,\ f(\alpha)),\enskip(\beta,\ f(\beta))$は
直線 $y = -2x + 7$ 上にあり，
2点$(\alpha,\ f(\beta)),\enskip(\beta,\ f(\alpha))$は
直線 $y = 2x - 1$ 上にある．
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$\alpha + \beta$ を求めよ．
\item
$a,\ b,\ c$ を求めよ．
\end{enumerate}
\end{FRAME}
\vskip 2mm
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$f(x)$ は $x = \alpha$ で極大値，
$x = \beta$ 極小値をとるから，
$\alpha,\ \beta$ は $x$ の2次方程式
\begin{align*}
f'(x) = 0 \quad すなわち \quad
3x^2 + 2ax + b = 0
\end{align*}
の異なる2つの実数解である．
よって解と係数の関係より
\begin{align*}
\alpha + \beta = -\frac{2a}{3},\quad
\alpha \beta = \frac{b}{3}
\tag*{$\cdott\MARU{1}$}
\end{align*}
\parbox{240pt}{
仮定より2直線 $y = 2x - 1,\,\,\,y = -2x + 7$ は \\
4点$(\alpha,\ f(\alpha)),\enskip(\alpha,\ f(\beta)),\enskip
(\beta,\ f(\beta)),\enskip(\beta,\ f(\alpha))$
を頂点とする長方形の対角線である．
したがって対角線の交点Pの$x$座標は
\begin{gather*}
2x - 1 = -2x + 7 \qquad
\therefore \,\,\,
x = 2
\end{gather*}
ゆえに$\P(2,\ 3)$．
一方でPは $\alpha,\ \beta$ を用いて
\begin{align*}
\P\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2},\
\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \bigg)
\end{align*}
}
\parbox{180pt}{
\hspace*{1.8zw}
%WinTpicVersion3.08
\unitlength 0.1in
\begin{picture}( 14.8200, 16.8300)( 10.6000,-22.6600)
% LINE 2 0 3 0
% 2 1514 808 2527 2266
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1514 808}%
\special{pa 2528 2266}%
\special{fp}%
% BOX 2 0 3 0
% 2 1667 1027 2381 2054
%
\special{pn 8}%
\special{pa 1668 1028}%
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\special{pa 1668 2054}%
\special{pa 1668 1028}%
\special{fp}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1060 1006 1060 1130 2 0
% {\footnotesize$(\alpha,\,f(\alpha))$}
\put(10.6000,-11.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\alpha,\,f(\alpha))$}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 1060 1926 1060 2050 2 0
% {\footnotesize$(\alpha,\,f(\beta))$}
\put(10.6000,-20.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\alpha,\,f(\beta))$}}}%
% STR 2 0 3 0
% 3 2440 1006 2440 1130 2 0
% {\footnotesize$(\beta,\,f(\alpha))$}
\put(24.4000,-11.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\beta,\,f(\alpha))$}}}%
% STR 2 0 3 0
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\put(23.4300,-7.5300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y=2x-1$}}}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 1667 1026
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1668 1026 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% DOT 2 0 3 0
% 1 2383 1026
%
\special{pn 8}%
\special{sh 1}%
\special{ar 2384 1026 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 2383 1026
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 2384 1026 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 2383 2054
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 2384 2054 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% DOT 0 0 3 0
% 1 1667 2054
%
\special{pn 20}%
\special{sh 1}%
\special{ar 1668 2054 10 10 0 6.28318530717959E+0000}%
% LINE 2 0 3 0
% 2 2542 803 1521 2261
%
\special{pn 8}%
\special{pa 2542 804}%
\special{pa 1522 2262}%
\special{fp}%
\end{picture}%
%\input{hit19933s_zu_2}
}
とも表せるから
\begin{gather*}
\frac{\alpha + \beta}{2} = 2 \qquad
\therefore \enskip
\textcolor{red}{\boldsymbol{\alpha + \beta = 4}}
\tag*{$\Ans\ \MARU{2}$} \\[1mm]
および \quad
\frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2} = 3
\tag*{$\cdott\MARU{3}$}
\end{gather*}
\medskip
\item
\MARU{1},\enskip\MARU{2}より，
\begin{align*}
-\frac{2}{3}a = 4 \qquad
\therefore \,\,\,
\textcolor{red}{\boldsymbol{a = -6}}
\tag*{$\Ans\ \MARU{4}$}
\end{align*}
$(\alpha,\ f(\alpha)),\enskip
(\beta,\,\,f(\beta))$は $y = -2x + 7$ 上の点だから，
\begin{gather*}
f(\alpha)
= \alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c
= -2\alpha + 7
\tag*{$\cdott\MARU{5}$} \\
f(\beta)
= \beta^3 + a\beta^2 + b\beta + c
= -2\beta - 1
\tag*{$\cdott\MARU{6}$}
\end{gather*}
$\alpha - \beta \neq 0$ に留意して$\MARU{5}-\MARU{6}$を整理すると，
\begin{gather*}
\alpha^3 - \beta^3
+ a(\alpha^2 - \beta^2)
+ b(\alpha - \beta)
= -2(\alpha - \beta) \\
\qquad
(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)
+ a(\alpha - \beta)(\alpha + \beta)
+ b(\alpha - \beta)
= -2(\alpha - \beta) \\
\qquad
\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2
+ a(\alpha + \beta)
+ b
= -2 \quad(\,\because \,\,\,\alpha - \beta \neq 0) \\
\therefore \enskip
(\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + a(\alpha + \beta) + b + 2
= 0
\tag*{$\cdott\MARU{7}$}
\end{gather*}
\MARU{7}に\MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{4}を代入して
\begin{align*}
4^2 - \frac{b}{3} - 6 \cdot 4 + b + 2 = 0 \qquad
\therefore \,\,\,
\textcolor{red}{\boldsymbol{b = 9}}
\tag*{$\Ans\ \MARU{8}$}
\end{align*}
\MARU{1},\enskip\MARU{8}より，
\begin{align*}
\alpha\beta = \frac{9}{3} = 3
\tag*{$\cdott\MARU{9}$}
\end{align*}
\MARU{3}より $f(\alpha) + f(\beta) = 6$ だから，
\begin{gather*}
\underbrace{\,(\alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c)\,}
_{f(\alpha)}{}
+ {}\underbrace{\,(\beta^3 + a\beta^2 + b\beta + c)\,}_{f(\beta)}{}
= 6 \\
\therefore \enskip
\alpha^3 + \beta^3 + a(\alpha^2 + \beta^2)
+ b(\alpha + \beta) + 2c
= 6
\tag*{$\cdott
\MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{\raisebox{0.2mm}{10}}}$}
\end{gather*}
\MARU{2},\enskip\MARU{4},\enskip\MARU{8},\enskip\MARU{9}より
\begin{gather*}
\alpha^3 + \beta^3
= (\alpha + \beta)^3
- 3\alpha\beta(\alpha + \beta)
= 4^3 - 3\cdot 3 \cdot 4
= 28 \\
a(\alpha^2 + \beta^2)
= -6 \cdot \{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\}
= -6(4^2 - 2 \cdot 3)
= -60 \\
b(\alpha + \beta)
= 9 \cdot 4
= 36
\end{gather*}
これらを\MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{\raisebox{0.2mm}{10}}}に
代入して，
\begin{align*}
28 - 60 + 36 + 2c = 6 \qquad
\therefore \,\,\,
\textcolor{red}{\boldsymbol{c = 1}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{document}
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