一橋大学 前期 1993年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 1993年度
問No 問3
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 方程式と不等式 ・ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ は $x = \alpha$ で極大値をとり, $x = \beta$ で極小値をとる. 2点$(\alpha,\ f(\alpha)),\enskip(\beta,\ f(\beta))$は 直線 $y = -2x + 7$ 上にあり, 2点$(\alpha,\ f(\beta)),\enskip(\beta,\ f(\alpha))$は 直線 $y = 2x - 1$ 上にある. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\alpha + \beta$ を求めよ. \item  $a,\ b,\ c$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f(x)$ は $x = \alpha$ で極大値, $x = \beta$ 極小値をとるから, $\alpha,\ \beta$ は $x$ の2次方程式 \begin{align*} f'(x) = 0 \quad すなわち \quad 3x^2 + 2ax + b = 0 \end{align*} の異なる2つの実数解である. よって解と係数の関係より \begin{align*} \alpha + \beta = -\frac{2a}{3},\quad \alpha \beta = \frac{b}{3} \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} \parbox{240pt}{ 仮定より2直線 $y = 2x - 1,\,\,\,y = -2x + 7$ は \\ 4点$(\alpha,\ f(\alpha)),\enskip(\alpha,\ f(\beta)),\enskip (\beta,\ f(\beta)),\enskip(\beta,\ f(\alpha))$ を頂点とする長方形の対角線である. したがって対角線の交点Pの$x$座標は \begin{gather*} 2x - 1 = -2x + 7 \qquad \therefore \,\,\, x = 2 \end{gather*} ゆえに$\P(2,\ 3)$. 一方でPは $\alpha,\ \beta$ を用いて \begin{align*} \P\bigg(\frac{\alpha+\beta}{2},\ \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \bigg) \end{align*} } \parbox{180pt}{ \hspace*{1.8zw} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 14.8200, 16.8300)( 10.6000,-22.6600) % LINE 2 0 3 0 % 2 1514 808 2527 2266 % \special{pn 8}% \special{pa 1514 808}% \special{pa 2528 2266}% \special{fp}% % BOX 2 0 3 0 % 2 1667 1027 2381 2054 % \special{pn 8}% \special{pa 1668 1028}% \special{pa 2382 1028}% \special{pa 2382 2054}% \special{pa 1668 2054}% \special{pa 1668 1028}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1060 1006 1060 1130 2 0 % {\footnotesize$(\alpha,\,f(\alpha))$} \put(10.6000,-11.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\alpha,\,f(\alpha))$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1060 1926 1060 2050 2 0 % {\footnotesize$(\alpha,\,f(\beta))$} \put(10.6000,-20.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\alpha,\,f(\beta))$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2440 1006 2440 1130 2 0 % {\footnotesize$(\beta,\,f(\alpha))$} \put(24.4000,-11.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\beta,\,f(\alpha))$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2418 1916 2418 2040 2 0 % {\footnotesize$(\beta,\,f(\beta))$} \put(24.1800,-20.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$(\beta,\,f(\beta))$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1160 629 1160 753 2 0 % {\footnotesize$y=-2x+7$} \put(11.6000,-7.5300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y=-2x+7$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2343 629 2343 753 2 0 % {\footnotesize$y=2x-1$} \put(23.4300,-7.5300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y=2x-1$}}}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1667 1026 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1668 1026 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 2 0 3 0 % 1 2383 1026 % \special{pn 8}% \special{sh 1}% \special{ar 2384 1026 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2383 1026 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2384 1026 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2383 2054 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2384 2054 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1667 2054 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1668 2054 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2542 803 1521 2261 % \special{pn 8}% \special{pa 2542 804}% \special{pa 1522 2262}% \special{fp}% \end{picture}% %\input{hit19933s_zu_2} } とも表せるから \begin{gather*} \frac{\alpha + \beta}{2} = 2 \qquad \therefore \enskip \textcolor{red}{\boldsymbol{\alpha + \beta = 4}} \tag*{$\Ans\ \MARU{2}$} \\[1mm] および \quad \frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2} = 3 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} \medskip \item  \MARU{1},\enskip\MARU{2}より, \begin{align*} -\frac{2}{3}a = 4 \qquad \therefore \,\,\, \textcolor{red}{\boldsymbol{a = -6}} \tag*{$\Ans\ \MARU{4}$} \end{align*} $(\alpha,\ f(\alpha)),\enskip (\beta,\,\,f(\beta))$は $y = -2x + 7$ 上の点だから, \begin{gather*} f(\alpha) = \alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c = -2\alpha + 7 \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \\ f(\beta) = \beta^3 + a\beta^2 + b\beta + c = -2\beta - 1 \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{gather*} $\alpha - \beta \neq 0$ に留意して$\MARU{5}-\MARU{6}$を整理すると, \begin{gather*} \alpha^3 - \beta^3 + a(\alpha^2 - \beta^2) + b(\alpha - \beta) = -2(\alpha - \beta) \\ \qquad (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + a(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + b(\alpha - \beta) = -2(\alpha - \beta) \\ \qquad \alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 + a(\alpha + \beta) + b = -2 \quad(\,\because \,\,\,\alpha - \beta \neq 0) \\ \therefore \enskip (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + a(\alpha + \beta) + b + 2 = 0 \tag*{$\cdott\MARU{7}$} \end{gather*} \MARU{7}に\MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{4}を代入して \begin{align*} 4^2 - \frac{b}{3} - 6 \cdot 4 + b + 2 = 0 \qquad \therefore \,\,\, \textcolor{red}{\boldsymbol{b = 9}} \tag*{$\Ans\ \MARU{8}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{8}より, \begin{align*} \alpha\beta = \frac{9}{3} = 3 \tag*{$\cdott\MARU{9}$} \end{align*} \MARU{3}より $f(\alpha) + f(\beta) = 6$ だから, \begin{gather*} \underbrace{\,(\alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c)\,} _{f(\alpha)}{} + {}\underbrace{\,(\beta^3 + a\beta^2 + b\beta + c)\,}_{f(\beta)}{} = 6 \\ \therefore \enskip \alpha^3 + \beta^3 + a(\alpha^2 + \beta^2) + b(\alpha + \beta) + 2c = 6 \tag*{$\cdott \MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{\raisebox{0.2mm}{10}}}$} \end{gather*} \MARU{2},\enskip\MARU{4},\enskip\MARU{8},\enskip\MARU{9}より \begin{gather*} \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 4^3 - 3\cdot 3 \cdot 4 = 28 \\ a(\alpha^2 + \beta^2) = -6 \cdot \{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\} = -6(4^2 - 2 \cdot 3) = -60 \\ b(\alpha + \beta) = 9 \cdot 4 = 36 \end{gather*} これらを\MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{\raisebox{0.2mm}{10}}}に 代入して, \begin{align*} 28 - 60 + 36 + 2c = 6 \qquad \therefore \,\,\, \textcolor{red}{\boldsymbol{c = 1}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}