大阪大学 前期理系 2016年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2016年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \def\GD{{\bekutoru{$\mathrm{GD}$}}} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  円上の5点A,\enskip B,\enskip C,\enskip D,\enskip Eは 反時計回りにこの順に並び, 円周を5等分している. 5点A,\enskip B,\enskip C,\enskip D,\enskip Eを頂点とする 正五角形を $\R_1$ とする.\smallskip\\ $\AB = \veca,\enskip \cD = \vecc$ とおき, $\veca$ の大きさを $x$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\AC$ の大きさを $y$ とするとき, $x^2 = y(y - x)$ がなりたつことを示せ. \item  $\BC$ を $\veca,\ \vecc$ を用いて表せ. \item  $\R_1$ の対角線の交点として得られる $\R_1$ の内部の5つの 点を頂点とする正五角形を $\R_2$ とする. $\R_2$ の一辺の長さを $x$ を用いて表せ. \item  $n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ に対して, $\R_n$ の対角線の交点として得られる $\R_n$ の内部の5つの点を 頂点とする正五角形を $\R_{n+1}$ とし, $\R_n$ の面積を $S_n$ とする. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1}\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} S_k \] を求めよ. \vspace*{-2zw} \begin{center} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 17.0000, 20.3000)( 9.6000,-25.4000) % POLYGON 2 0 3 0 % 6 2614 1284 2328 2159 1406 2157 1123 1280 1869 740 2614 1284 % \special{pn 8}% \special{pa 2614 1284}% \special{pa 2328 2160}% \special{pa 1406 2158}% \special{pa 1124 1280}% \special{pa 1870 740}% \special{pa 2614 1284}% \special{fp}% % LINE 1 2 3 0 % 2 2614 1284 1130 1282 % \special{pn 13}% \special{pa 2614 1284}% \special{pa 1130 1282}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 2 3 0 % 2 2614 1284 1408 2155 % \special{pn 13}% \special{pa 2614 1284}% \special{pa 1408 2156}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 2 3 0 % 2 1408 2155 1870 743 % \special{pn 13}% \special{pa 1408 2156}% \special{pa 1870 744}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 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\special{fp}% \special{pa 2068 1368}% \special{pa 1728 1708}% \special{fp}% \special{pa 2064 1340}% \special{pa 1706 1698}% \special{fp}% \special{pa 2052 1318}% \special{pa 1690 1680}% \special{fp}% \special{pa 2046 1288}% \special{pa 1666 1668}% \special{fp}% \special{pa 2016 1282}% \special{pa 1648 1652}% \special{fp}% \special{pa 1982 1282}% \special{pa 1632 1634}% \special{fp}% \special{pa 1948 1282}% \special{pa 1608 1622}% \special{fp}% \special{pa 1914 1282}% \special{pa 1590 1606}% \special{fp}% \special{pa 1878 1282}% \special{pa 1608 1554}% \special{fp}% \special{pa 1844 1282}% \special{pa 1626 1502}% \special{fp}% \special{pa 1810 1282}% \special{pa 1636 1456}% \special{fp}% \special{pa 1776 1282}% \special{pa 1654 1404}% \special{fp}% \special{pa 1740 1282}% \special{pa 1672 1352}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1810 580 1810 680 2 0 % {\small A} \put(18.1000,-6.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\small A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 960 1160 960 1260 2 0 % {\small B} \put(9.6000,-12.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\small B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2660 1160 2660 1260 2 0 % {\small E} \put(26.6000,-12.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\small E}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2330 2200 2330 2300 2 0 % {\small D} \put(23.3000,-23.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\small D}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1260 2200 1260 2300 2 0 % {\small C} \put(12.6000,-23.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\small C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1370 2610 1370 2710 2 0 % 斜線部分が$\R_2$ \put(13.7000,-27.1000){\makebox(0,0)[lb]{斜線部分が$\R_2$}}% \end{picture}% %\input{osaka2016s5_zu_2} \end{center} \vskip 1.5zw \end{enumerate} \def\GD{{\bekutoru{$\mathrm{GD}$}}} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  右図のようにF,\enskip Gをとる.  $\triangle\A\C\D$と$\triangle\D\C\F$について. $\angle\A\C\D = \angle\D\C\F$. 弦CD,\enskip ABに関する円周角は等しいから $\angle\C\A\D = \C\D\F$. ゆえに $\triangle\A\C\D\>\souzi\>\triangle\D\C\F$. よって, \begin{align*} \A\B : \A\C = \C\D : \A\C = \C\F : \D\C \tag*{$\cdott\cdottt\MARU{1}$} \end{align*}  弦AB,\enskip CDに関する円周角は 等しいから $\angle\F\D\A = \angle\F\A\D$. よって$\triangle\A\F\D$は二等辺三角形である. また,$\angle\A\C\D = \angle\A\D\C = 2\angle\C\A\D$ より $\triangle\A\C\D$ は二等辺三角形だから $\triangle\A\C\D\>\souzi\> \triangle\D\C\F$ より$\triangle\D\C\F$も二等辺三角形である. \vskip 0.4zw \begin{minipage}{260pt}  ゆえに $\F\A = \F\D = \C\D = x$ だから, \begin{align*} \C\F &= \A\C - \F\A \\ &= y - \F\D \\ &= y - x \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{2}より, \begin{gather*} x : y = (y - x) : x \\ \therefore \enskip x^2 = y(y - x) \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} \end{minipage} \begin{minipage}{100pt} \hspace*{1zw} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 15.3000, 16.3800)( 9.6000,-21.3100) % LINE 1 0 3 0 % 2 1522 1500 1616 1205 % \special{pn 13}% \special{pa 1522 1500}% \special{pa 1616 1206}% \special{fp}% % POLYGON 2 0 3 0 % 6 2449 1207 2191 1994 1361 1992 1107 1203 1778 717 2449 1207 % \special{pn 8}% \special{pa 2450 1208}% \special{pa 2192 1994}% \special{pa 1362 1992}% \special{pa 1108 1204}% \special{pa 1778 718}% \special{pa 2450 1208}% \special{fp}% % LINE 1 2 3 0 % 2 2449 1207 1113 1205 % \special{pn 13}% \special{pa 2450 1208}% \special{pa 1114 1206}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 2 3 0 % 2 2449 1207 1363 1991 % \special{pn 13}% \special{pa 2450 1208}% \special{pa 1364 1992}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 2 3 0 % 2 1363 1991 1779 720 % \special{pn 13}% \special{pa 1364 1992}% \special{pa 1780 720}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 2 3 0 % 2 1779 720 2191 1994 % \special{pn 13}% \special{pa 1780 720}% \special{pa 2192 1994}% \special{dt 0.045}% % LINE 1 2 3 0 % 2 1113 1205 2191 1994 % \special{pn 13}% \special{pa 1114 1206}% \special{pa 2192 1994}% \special{dt 0.045}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 1783 1425 1563 2096 1563 2096 1563 2096 % \special{pn 8}% \special{ar 1784 1426 706 706 0.0000000 6.2831853}% % LINE 1 0 3 0 % 2 1621 1205 1937 1205 % \special{pn 13}% \special{pa 1622 1206}% \special{pa 1938 1206}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 1937 1205 2036 1511 % \special{pn 13}% \special{pa 1938 1206}% \special{pa 2036 1512}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 2036 1506 1776 1693 % \special{pn 13}% \special{pa 2036 1506}% \special{pa 1776 1694}% \special{fp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 1776 1693 1522 1500 % \special{pn 13}% \special{pa 1776 1694}% \special{pa 1522 1500}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1580 1410 1580 1500 2 0 % {\footnotesize F} \put(15.8000,-15.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize F}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1725 573 1725 663 2 0 % {\footnotesize A} \put(17.2500,-6.6300){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 960 1095 960 1185 2 0 % {\footnotesize B} \put(9.6000,-11.8500){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2490 1095 2490 1185 2 0 % {\footnotesize E} \put(24.9000,-11.8500){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize E}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2210 2040 2210 2130 2 0 % {\footnotesize D} \put(22.1000,-21.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1220 2040 1220 2130 2 0 % {\footnotesize C} \put(12.2000,-21.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize C}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1470 1740 1470 1840 2 0 % \scalebox{0.3}{$●$} \put(14.7000,-18.4000){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.3}{$●$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1550 1850 1550 1950 2 0 % \scalebox{0.3}{$●$} \put(15.5000,-19.5000){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.3}{$●$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1760 860 1760 960 2 0 % \scalebox{0.3}{$●$} \put(17.6000,-9.6000){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.3}{$●$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2050 1750 2050 1850 2 0 % \scalebox{0.3}{$●$} \put(20.5000,-18.5000){\makebox(0,0)[lb]{\scalebox{0.3}{$●$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2100 1500 2100 1590 2 0 % {\footnotesize G} \put(21.0000,-15.9000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize G}}}% \end{picture}% %\input{osaka2016s5_zu_3} \end{minipage} \vskip 0.5zw が成り立つ. \hfill ■ \item  $\triangle\D\C\F$と$\triangle\C\D\G$について. $\D\C = \C\D,\enskip \angle\D\C\F = \angle\C\D\G,\enskip \angle\C\D\F = \angle\D\C\G$ より % $\triangle\D\C\F \equiv \triangle\C\D\G$. よって $\C\F = \D\G = y - x$. したがって, \begin{align*} \BC = \frac{x}{y - x}\,\GD \end{align*} $\GD = \GC + \cD = \AB + \cD = \veca + \vecc$. \MARU{3}を $y$ の2次方程式と考えて解けば, \begin{gather*} y^2 - xy - x^2 = 0 \qquad \therefore \enskip y = \frac{1 + \sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}x \quad (\,\because\enskip y > 0) \end{gather*} したがって $y - x = \dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 5} - 1}{2}x$. ゆえに \begin{align*} \BC = \frac{x}{\>\dfrac{\mathstrut \sqrt{\vphantom{b} 5} - 1}{2}x\>} (\veca + \vecc) = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{1 + \sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}(\veca + \vecc) }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $\R_2$ の一辺の長さは \begin{align*} \A\C - 2\,\C\F &= y - 2(y - x) = 2x - y = 2x - \frac{1 + \sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}x \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{3 - \sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}x }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $\R_{n+1}\>\souzi\>\R_n$ であり, 相似比は $\R_2\>\souzi\>\R_1$ と同じだから, \begin{gather*} S_{n+1} : S_n = S_2 : S_1 = \bigg(\frac{3 - \sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}\bigg)^{\!\!2} : 1 = \frac{7 - 3\sqrt{\vphantom{b} 5}}{2} : 1 \\[1mm] \therefore \enskip S_{n+1} = rS_n \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} ここで $r = \dfrac{7 - 3\sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}$ とおいた. \MARU{4}を繰り返し用いれば, \begin{gather*} S_n = r^{n-1}S_1 \qquad \therefore \enskip (-1)^{n+1}S_n = (-1)^{n-1}r^{n-1}S_1 = (-r)^{n-1}S_1 \end{gather*} よって $\{(-1)^{n+1}S_n\}$ は初項 $S_1$,公比 $r - 1$ の等比数列 である. $\zettaiti{-r} = \zettaiti{\dfrac{7 - 3\sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}} < 1$ だから, \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k &= \frac{1}{S_1} \cdot \frac{S_1}{1 - (-r)} = \frac{1}{1 + r} = \frac{1}{\>\raisebox{-0.9zw} {$1 + \dfrac{7 - 3\sqrt{\vphantom{b} 5}}{2}$}\>} \\[1mm] &= \frac{2}{9 - 3\sqrt{\vphantom{b} 5}} = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{3 + \sqrt{\vphantom{b} 5}}{6} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}