大阪大学 前期理系 2016年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2016年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  $c$ を正の定数とする. 正の実数 $x,\ y$ が $x + y = c$ をみたすとき, \begin{align*} \bigg(1 + \frac{1}{x}\bigg)\! \bigg(1 + \frac{1}{y}\bigg) \end{align*} の最小値を $c$ を用いて表せ. \item[(2)]  正の実数 $x,\ y,\ z$ が $x + y + z = 1$ を みたすとき, \begin{align*} \bigg(1 + \frac{1}{x}\bigg)\! \bigg(1 + \frac{1}{y}\bigg)\! \bigg(1 - \frac{4}{3z}\bigg) \end{align*} の最大値を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $A = \bigg(1 + \dfrac{1}{x}\bigg)\bigg(1 + \dfrac{1}{y}\bigg)$ とおく. $x + y = c$ より, \begin{gather*} A = \bigg(1 + \dfrac{1}{x}\bigg)\!\bigg(1 + \frac{1}{y}\bigg) = \frac{1 + x + y + xy}{xy} = 1 + \frac{1 + c}{xy} \end{gather*} $1 + c > 0$ だから $A$ が最小になるのは $xy$ が最大になるときである.  $相加平均 \geqq 相乗平均$の不等式より \begin{gather*} \frac{x + y}{2} \geqq \sqrt{\vphantom{b} xy} \qquad \therefore \enskip xy \leqq \frac{c^2}{4} \end{gather*} 等号は \smallskip$x = y = \dfrac{c}{2}$ のとき成立するから $xy$ の 最大値は $\dfrac{c^2}{4}$ である. ゆえに $A$ の最小値は \begin{align*} \textcolor{red} {\boldsymbol{\bigg(1 + \frac{2}{c}\bigg)^{\!\!2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $B = A \cdot \bigg(1 - \dfrac{4}{3z}\bigg)$ とおく. $0 < x + y = 1 - z$ より $0 < z < 1$ だから \begin{align*} 1 - \frac{4}{3z} < 1 - \frac{4}{3} < 0 \end{align*} よって $z$ を固定したとき $B$ が最大になるのは $A$ が 最小になるときである.  (1)の結果を $c = 1 - z$ として用いれば, $A$ の最小値は \begin{align*} \bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg)^{\!\!2} \end{align*} だから $z$ を固定したときの $B$ の最大値は, \begin{align*} f(z) = \bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg)^{\!\!2} \bigg(1 - \frac{4}{3z}\bigg) \end{align*} 求めるべき $B$ の最大値は $z$ を % $0 < z < 1$ において 自由に変化させたときの $f(z)$ の最大値である. \begin{align*} f'(z) &= 2\bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg)\frac{2}{(1 - z)^2} \cdot \bigg(1 - \frac{4}{3z}\bigg) + \bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg)^{\!\!2} \cdot \frac{4}{3z^2} \\[1mm] &= 4\bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg) \left\{ \frac{1}{(1 - z)^2}\bigg(1 - \frac{4}{3z}\bigg) + \bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg)\frac{1}{3z^2} \right\} \\[1mm] &= 4\bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg) \cdot \frac{1}{3z^2(1 - z)^2} \{3z^2 - 4z + (1 - z)^2 + 2(1 - z)\} \\[1mm] &= \frac{4}{3z^2(1 - z)^2}\bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg) (4z^2 - 8z + 3) \displaybreak[0]\\[1mm] &= \frac{4}{3z^2(1 - z)^2}\bigg(1 + \frac{2}{1 - z}\bigg) (2z - 3)(2z - 1) \end{align*} これより $f(z)$ の増減表は \begin{align*} \begin{array}{c||c|c|c|c|c} z & (0) & \cdots & 1 \slash 2 & \cdots & (1) \\ \hline f'(z) & & + & 0 & - & \\ \hline f(z) & & \nearrow & 最大 & \searrow & \end{array} \end{align*} だから $B$ の最大値は \begin{align*} f\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \left(\raisebox{0.6zw} {$1 + \dfrac{2}{\>1 - \dfrac{\mathstrut 1}{2}\>}$} \right)^{\!\!2}\!\! \left(\raisebox{0.6zw} {$1 - \dfrac{4}{\>\dfrac{\mathstrut 3}{2}\>}$} \right) = \textcolor{red}{\boldsymbol{-\frac{125}{3}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}