大阪大学 文系 2016年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 文系
年度 2016年度
問No 問3
学部 文学部 ・ 人間科学部 ・ 外国語学部 ・ 法学部 ・ 経済学部
カテゴリ
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  1以7上6以下の2つの整数 $a,\ b$ に対し, 関数 $f_n(x) \enskip(n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$ を 次の条件(ア),\enskip(イ),\enskip(ウ)で定める. \begin{align*} (ア) \quad & f_1(x) = \sin(\pi x) \\ (イ) \quad & f_{2n}(x) = f_{2n-1}\bigg(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - x\bigg) \\ (ウ) \quad & f_{2n+1}(x) = f_{2n}(-x) \end{align*} 以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  $a = 2,\enskip b = 3$ のとき $f_5(0)$ を求めよ. \item[(2)]  1個のさいころを2回投げて, 1回目に出る目を $a$, 2回目に出る目を $b$ とするとき, $f_6(0) = 0$ となる確率を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = c$ とおく. (イ),\enskip(ウ)より \begin{gather*} f_{2n+1}(x) = f_{2n}(-x) = f_{2n-1}(c - (-x)) = f_{2n-1}(x + c) \end{gather*} この操作を繰り返し,(ア)を用いれば, \begin{align*} f_{2n-1}(x) = f_1(x + (n-1)c) = \sin\pi(x + (n-1)c) \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} $a = 2,\enskip b = 3$ のとき $c = \dfrac{5}{6}$ である. \MARU{1}に $n = 3,\enskip x = 0$ を代入して, \begin{align*} f_5(0) = \sin\pi\bigg({0 + \frac{5}{3}} \bigg) = \textcolor{red} {\boldsymbol{-\frac{\sqrt{\vphantom{b} 3}}{2}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  (ウ),\enskip\MARU{1}より \begin{align*} f_{2n}(x) = f_{2n+1}(-x) = \sin\pi(nc - x) \end{align*} これより $f_6(0) = \sin3\pi c$ だから, $f_6(0) = 0$ となるのは, \begin{align*} 3c = m\pi \quad(m \in \mathbb{Z}) \end{align*} をみたすときである. \begin{align*} \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \leqq c \leqq \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \qquad \therefore \enskip 1 \leqq 3c \leqq 6 \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{2}より \smallskip \begin{enumerate} \item[(i)] $3c = 1$ のとき  $(a,\ b) = (6,\ 6)$ のみ. \item[(ii)] $3c = 2$ のとき \begin{gather*} 3\bigg({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\bigg) = 2 \\ \qquad (2a - 3)(2b - 3) = 9 \quad より \quad \begin{array}{c||c|c|c} 2a - 3 & 1 & 9 & 3 \\ \hline 2b - 3 & 9 & 1 & 3 \end{array} \\ \therefore \enskip (a,\ b) = (2,\ 6),\ (6,\ 2),\ (3,\ 3) \end{gather*} \item[(iii)] $3c = 3$ のとき \begin{gather*} 3\bigg({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\bigg) = 3 \\ \qquad (a - 1)(b - 1) = 1 \quad より \quad a - 1 = b - 1 = 1 \\ \therefore \enskip (a,\ b) = (2,\ 2) \end{gather*} \item[(iv)] $3c = 4$ のとき \begin{gather*} 3\bigg({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\bigg) = 4 \\ \qquad (4a - 3)(4b - 3) = 9 \quad より \quad \begin{array}{c||c|c|c} 4a - 3 & 1 & 9 & 3 \\ \hline 4b - 3 & 9 & 1 & 3 \end{array} \\ \therefore \enskip (a,\ b) = (1,\ 3),\ (3,\ 1) \end{gather*} \item[(v)] $3c = 2$ のとき \begin{gather*} 3\bigg({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\bigg) = 5 \\ \qquad (5a - 3)(5b - 3) = 9 \quad より \quad \begin{array}{c||c|c|c} 5a - 3 & 1 & 9 & 3 \\ \hline 5b - 3 & 9 & 1 & 3 \end{array} \\ \therefore \enskip (a,\ b)\>はない \end{gather*} \item[(vi)] $3c = 6$ のとき  $(a,\ b) = (1,\ 1)$ のみ. \end{enumerate}  (i)\,~\,(vi)より $f_6(0) = 0$ となる確率は \begin{align*} \frac{\>1 + 3 + 1 + 2 + 1\>}{6^2} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{2}{9}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \newpage \noindent{\color[named]{RoyalBlue}\bfseries \Ovalbox{解説}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{{\bf\sffamily{\color[named]{RoyalBlue}(\Alph{enumi})}}} \item  (2)の $3c = k\enskip(k = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6)$ について. \begin{gather*} 3\bigg({\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\bigg) = k \\ \qquad kab - 3a - 3b = 0 \\ \qquad ab - \frac{3}{k}a - \frac{3}{k}b = 0 \\[1mm] \qquad \bigg({a - \frac{3}{k}}\bigg)\! \bigg({b - \frac{3}{k}}\bigg) = \frac{9}{k^2} \\ \therefore \enskip (ka - 3)(kb - 3) = 9 \end{gather*} \item  (2)の別解 \begin{align*} f_6(0) = 0 \enskip \Longleftrightarrow \enskip 3c = \frac{3(a + b)}{ab} \in \mathbb{N} \end{align*} より $a = 1,\ 2,\ \cdots,\ 6,\enskip b = 1,\ 2,\ \cdots,\ 6$ の36通りをすべて調べ上げる方が速い. \MARU{4}をみたす$(a,\ b)$は対角線 $a = b$ に関して対称に配置するから, 実際には $(36 - 6) \div 2 + 6 = 21$ 通りを調べれば解決する. \begin{align*} \scalebox{0.8}{$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} b \backslash a & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & \bigcirc & & \bigcirc & & \\ \hline 2 & & \bigcirc & & & & \bigcirc \\ \hline 3 & \bigcirc & & \bigcirc & & & \\ \hline 4 & & & & & & \\ \hline 5 & & & & & & \\ \hline 6 & & \bigcirc & & & & \bigcirc \end{array}$} \end{align*} したがって $f_6(0) = 0$ となる確率は \begin{align*} \frac{8}{6^2} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{4}{9}}} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}