関西学院大学 理工・教(理) 1997年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 関西学院大学
学科・方式 理工・教(理)
年度 1997年度
問No 問2
学部 理工学部 ・ 教育学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  平面上に直線 $l$ と $l$ に接する半径1の円 $O_1$ がある. $l$ に関して $O_1$ と同じ側で, $l$ に接しかつ $O_1$ と外接する半径 $a$ の円を $O_2$ とする. $O_1,\ O_2$ および $l$ によって囲まれた領域で, $O_1,\ O_2$ および $l$ に接する円を $O_3$ とする. 以下同様に $n \geqq 4$ を満たす自然数 $n$ に対して, $O_{n-2},\ O_{n-1}$ および $l$ によって囲まれた領域で, $O_{n-2},\ O_{n-1}$ および $l$ に接する円を $O_n$ とする. このとき, 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  円 $O_3$ の半径 $r_3$ を $a$ で表せ. \item[(2)]  $r_1 = 1,\enskip r_2 = a$, および円 $O_n$ の半径を $r_n \enskip(n \geqq 3)$ とするとき, $r_1,\ r_2,\ r_3,\ \cdots,\ r_n,\ \cdots$ が等比数列になるためには, $a$ がどのような値でなければならないか. \item[(3)]  $a$ が(2)で求めた値をとるとき, 円 $O_n$ の中心から直線 $l$ に下ろした垂線の足を$\H_n$とすると \begin{align*} \overline{\mathstrut \H_1\H_2} + \overline{\mathstrut \H_2\H_3} + \cdots + \overline{\mathstrut \H_n\H_{n+1}} < 2 \end{align*} であることを示せ. % ただし,線分$\H_1\H_2$の長さを$\overline{\mathstrut \H_1\H_2}$の %ように表す. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \item[(1)]  $\overline{\mathstrut \A\B}$ をABと略記する. $O_1$ と $O_3$ が互いに外接しているから, \begin{gather*} (1 + r_3)^2 = (1 - r_3)^2 + \H_1{\H_3}^2 \\ \therefore \,\,\, \H_1\H_3 = \sqrt{\vphantom{b} (1 + r_3)^2 - (1 - {r_3}^2)} = 2\sqrt{\vphantom{b} r_3} \end{gather*} 同様に $O_2$ と $O_3$,$O_1$ と $O_2$ が互いに外接しているから,\\ \begin{minipage}{250pt} \begin{gather*} (a + r_3)^2 = (a - r_3)^2 + \H_3{\H_2}^2 \\ \therefore \,\,\, \H_3\H_2 = 2\sqrt{\vphantom{b} ar_3} \\ (1 + a)^2 = (1 - a)^2 + \H_1{\H_2}^2 \\ \therefore \,\,\, \H_1\H_2 = 2\sqrt{\vphantom{b} a} \end{gather*} $\H_1\H_3 + \H_3\H_2 = \H_1\H_2$ より \begin{gather*} 2\sqrt{\vphantom{b} r_3} + 2\sqrt{\vphantom{b} ar_3} = 2\sqrt{\vphantom{b} a} \\[1mm] \qquad \sqrt{\vphantom{b} r_3} = \frac{\sqrt{\vphantom{b} a}} {\sqrt{\vphantom{b} a} + 1} \\[1mm] \therefore \,\,\, r_3 = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \bigg(\frac{\sqrt{\vphantom{b} a}} {\sqrt{\vphantom{b} a} + 1} \bigg)^{\!\! 2} }} \tag*{$\Ans\ \MARU{1}$} \end{gather*} \end{minipage} \begin{minipage}{200pt} \hspace*{-10zw} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 35.9800, 16.5200)( 9.9000,-22.4200) % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 3680 1458 3894 2070 3894 2070 3894 2070 % \special{pn 8}% \special{ar 3680 1458 648 648 0.0000000 6.2831853}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 2765 1785 2864 2094 2864 2094 2864 2094 % \special{pn 8}% \special{ar 2766 1786 324 324 0.0000000 6.2831853}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2766 1781 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2766 1782 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2766 1781 3689 1457 % \special{pn 8}% \special{pa 2766 1782}% \special{pa 3690 1458}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 3681 1457 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 3682 1458 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % LINE 2 0 3 0 % 2 3681 1457 3681 2105 % \special{pn 8}% \special{pa 3682 1458}% \special{pa 3682 2106}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2766 1781 2766 2105 % \special{pn 8}% \special{pa 2766 1782}% \special{pa 2766 2106}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 3681 1781 2766 1781 % \special{pn 8}% \special{pa 3682 1782}% \special{pa 2766 1782}% \special{fp}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2993 1926 2968 2194 3146 1424 2490 1578 % \special{pn 4}% \special{ar 2994 1926 270 270 3.7468271 5.0082261}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2975 1945 2959 2212 2457 1580 2435 2360 % \special{pn 4}% \special{ar 2976 1946 268 268 2.4863447 3.7554214}% % STR 2 0 3 0 % 3 3205 1424 3205 1505 2 0 % {\scriptsize$b_{n-1}$} \put(32.0500,-15.0500){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$b_{n-1}$}}}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 3895 1950 3854 2217 3522 1658 3465 2258 % \special{pn 4}% \special{ar 3896 1950 270 270 2.5200245 3.8057834}% % STR 2 0 3 0 % 3 3765 1754 3765 1835 2 0 % {\scriptsize$b_{n-1}$} \put(37.6500,-18.3500){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$b_{n-1}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2932 1548 2932 1629 3 0 % {\scriptsize$b_n$} \put(29.3200,-16.2900){\makebox(0,0)[rb]{{\scriptsize$b_n$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2685 1886 2685 1967 3 0 % {\scriptsize$b_n$} \put(26.8500,-19.6700){\makebox(0,0)[rb]{{\scriptsize$b_n$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3592 1910 3592 1991 3 0 % {\scriptsize$b_n$} \put(35.9200,-19.9100){\makebox(0,0)[rb]{{\scriptsize$b_n$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2970 2219 2970 2300 2 0 % {\scriptsize$a_{n-1}-a_n$} \put(29.7000,-23.0000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$a_{n-1}-a_n$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 3819 679 3819 760 3 0 % {\footnotesize$C_{n-1}$} \put(38.1900,-7.6000){\makebox(0,0)[rb]{{\footnotesize$C_{n-1}$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2790 1343 2790 1424 3 0 % {\footnotesize$C_n$} \put(27.9000,-14.2400){\makebox(0,0)[rb]{{\footnotesize$C_n$}}}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 2282 2109 4588 2109 % \special{pn 8}% \special{pa 2282 2110}% \special{pa 4588 2110}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 4588 2110}% \special{pa 4522 2090}% \special{pa 4536 2110}% \special{pa 4522 2130}% \special{pa 4588 2110}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 4502 2148 4502 2229 2 0 % $x$ \put(45.0200,-22.2900){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 3250 1780 3560 2225 4000 2350 4420 1930 % \special{pn 4}% \special{ar 3250 1780 542 542 0.1275096 0.6498704}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 3250 1780 3545 2235 4415 1610 4150 1090 % \special{pn 4}% \special{ar 3250 1780 542 542 5.6291026 6.1382853}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 3520 1970 3690 2485 3770 1155 3415 1125 % \special{pn 4}% \special{ar 3520 1970 542 542 4.5887623 5.0100255}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 3520 1970 3725 2470 3115 1320 2895 1555 % \special{pn 4}% \special{ar 3520 1970 540 540 3.7277468 4.1551737}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2983 2017 3023 2243 2577 2183 2883 2523 % \special{pn 4}% \special{ar 2984 2018 230 230 1.7659105 2.7534658}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 3473 2017 3433 2243 3573 2523 3877 2183 % \special{pn 4}% \special{ar 3474 2018 230 230 0.3898598 1.3756821}% \end{picture}% %\input{kwangaku1997s2_zu_1} \end{minipage} \newpage \item[(2)]  数列 $\{r_n\}$ が等比数列になるためには $r_1,\ r_2,\ r_3$ が 等比数列をなすことが必要. このとき $r_3 = a^2$ だから, \MARU{1}より \begin{gather*} a^2 = \bigg(\frac{\sqrt{\vphantom{b} a}}{\sqrt{\vphantom{b} a} + 1} \bigg)^{\!\! 2} \\[1mm] \qquad \sqrt{\vphantom{b} a} = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a} + 1} \\ \qquad (\sqrt{\vphantom{b} a}\,)^2 + \sqrt{\vphantom{b} a} - 1 = 0 \\ \therefore \,\,\, \sqrt{\vphantom{b} a} = \frac{\sqrt{\vphantom{b} 5} - 1}{2} \quad より \quad % \therefore \,\,\, a = \bigg(\frac{\sqrt{\vphantom{b} 5} - 1}{2} \bigg)^{\!\! 2} \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{gather*} でなければならない. 逆に\MARU{2}のとき数列 $\{r_n\}$ が等比数列になることを示す.  $O_n$ と $O_{n+2}$ が互いに外接していることから, \begin{gather*} (r_n + r_{n+2})^2 = (r_n - r_{n+2})^2 + \H_n{\H_{n+2}}^2 \\ \therefore \,\,\, \H_n\H_{n+2} = 2\sqrt{\vphantom{b} r_nr_{n+2}} \end{gather*} 同様に $\H_{n+2}\H_{n+1} = \sqrt{\vphantom{b} r_{n+1}r_{n+2}},\enskip \H_n\H_{n+1} = \sqrt{\vphantom{b} r_nr_{n+1}}$ が成り立つ.  $\H_n\H_{n+2} + \H_{n+2}\H_{n+1} = \H_n\H_{n+1}$ より \begin{gather*} 2\sqrt{\vphantom{b} r_nr_{n+2}} + 2\sqrt{\vphantom{b} r_{n+1}r_{n+2}} = 2\sqrt{\vphantom{b} r_nr_{n+1}} \\ \therefore \,\,\, \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} r_{n+2}}} = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} r_{n+1}}} + \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} r_n}} \quad \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} ただし,両辺を $2\sqrt{\vphantom{b} r_nr_{n+1}r_{n+2}}$ で割った. $r_1 = 1,\enskip r_2 = a$ より\MARU{3}から \begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} r_3}} = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a}} + 1 = \frac{\sqrt{\vphantom{b} a} + 1}{\sqrt{\vphantom{b} a}} = \frac{1}{(\sqrt{\vphantom{b} a}\,)^2} = \frac{1}{a} \\ \therefore \,\,\, r_3 = a^2 \end{gather*} $r_k = a^{k-1},\enskip r_{k+1} = a^k$ が成り立つとすれば, \MARU{3}より \begin{gather*} \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} r_{k+2}}} = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a^k}} + \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a^{k-1}}} = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a^{k-1}}} \left(\frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a}} + 1 \right) = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a^{k-1}}} \cdot \frac{1}{(\sqrt{\vphantom{b} a}\,)^2} = \frac{1}{\sqrt{\vphantom{b} a^{k+1}}} \\ \therefore \,\,\, r_{k+2} = a^{k+1} \end{gather*} よって帰納的に $r_n = a^{n-1}$ であることが示された. ゆえに $a$ の値は\MARU{2}で与えられる. すなわち \begin{align*} a = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \bigg(\frac{\sqrt{\vphantom{b} 5} - 1}{2} \bigg)^{\!\! 2} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item[(3)]  $\H_n\H_{n+1} = 2\sqrt{\vphantom{b} r_nr_{n+1}} = 2\sqrt{\vphantom{b} a^{2n-1}} = 2\sqrt{\vphantom{b} a}\,a^{n-1}$. $0 < a < 1$ より \begin{gather*} \H_1\H_2 + \H_2\H_3 + \cdots + \H_n\H_{n+1} \\ < \sum_{k=1}^\infty \H_k\H_{k+1} = \frac{2\sqrt{\vphantom{b} a}}{1 - a} = 2 \cdot \frac{\>\dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 5} - 1}{\mathstrut 2}\>} {\> \raisebox{-1zw} {$1 - \dfrac{\mathstrut 6 - 2\sqrt{\vphantom{b} 5}}{4}$} \>} = 2 \tag*{■} \end{gather*} \end{enumerate} \end{document}