一橋大学 後期 2001年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 後期
年度 2001年度
問No 問3
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 複素数と方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  複素数の数列 $\{z_n\}$ が次の条件で定められている. \begin{align*} z_1 = 0,\quad z_2 = 1,\quad z_{n+2} = (2+i)z_{n+1} - (1+i)z_n \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \end{align*} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $\alpha = 1 + i$ とする. $z_n$ を $\alpha$ を用いて表せ. \item  $\zettaiti{z_n} \leqq 4$ であるような最大の $n$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $2 + i = 1 + \alpha$ より \begin{gather*} z_{n+2} = (1+\alpha)z_{n+1} - \alpha z_n \\[1mm] \therefore \enskip \left\{ \begin{array}{lr} z_{n+2} - \alpha z_{n+1} = z_{n+1} - \alpha z_n & \hspace*{9zw}\cdott\MARU{1} \smallskip\\ z_{n+2} - z_{n+1} = \alpha (z_{n+1} - z_n) & \cdott\MARU{2} \end{array} \right. \end{gather*} \MARU{1}より数列 $\{z_{n+1} - \alpha z_n\}$ は定数数列だから, \begin{gather*} z_{n+1} - \alpha z_n = z_2 - \alpha z_1 \qquad \therefore \enskip z_{n+1} - \alpha z_n = 1 \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} \MARU{2}より数列 $\{z_{n+1} - z_n\}$ は, 初項 $z_2 - \alpha z_1 = 1$,公比 $\alpha$ の等比数列だから, \begin{gather*} z_{n+1} - z_n = 1 \cdot \alpha^{n-1} \qquad \therefore \enskip z_{n+1} - z_n = \alpha^{n-1} \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} $\MARU{3}-\MARU{4}$より,%$z_{n+1}$ を消去して, \begin{gather*} z_n - \alpha z_n = 1 - \alpha^{n-1} \\ \qquad \{1-(1+i)\}z_n = 1 - \alpha^{n-1} \\ \qquad {-i}z_n = 1-\alpha^{n-1} \\ \therefore \enskip z_n = \textcolor{red}{\boldsymbol{i(1-\alpha^{n-1})}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \item  $\zettaiti{z_n} \leqq 4$ の条件は(1)の結果より \begin{gather*} \zettaiti{1-\alpha^{n-1}} \leqq 4 \\ \therefore \enskip \mbox{$\alpha^{n-1}$ は中心1, 半径4の円 $E$ の周および内部にある} \tag*{$\cdots\cdotssp{\color[named]{RedViolet}(*)}$} \end{gather*} と同値である. したがって $(*)$ をみたす最大の自然数 $n$ が求めるものである.  $\zettaiti{\alpha} = \zettaiti{1 + i} = \sqrt{\vphantom{b} 2} > 1$ および $\zettaiti{\alpha^n} = \zettaiti{\alpha}^n$ より, \begin{align*} 1 < \zettaiti{\alpha} < \zettaiti{\alpha^2} < \cdotss < \zettaiti{\alpha^{n-1}} < \zettaiti{\alpha^n} < \zettaiti{\alpha^{n+1}} <\cdotss \end{align*} $\zettaiti{\alpha^6} = (\sqrt{\vphantom{b} 2}\,)^6 = 8$より $\{\alpha^m\>|\>m \geqq 6\}$ は中心0, 半径8の円 $F : \zettaiti{z} = 8$ の周および外部にある. $F$ の内部に $E$ は含まれるから, $m \geqq 6$ ならば $\alpha^m$ は {\color[named]{RedViolet}$(*)$} を みたさない. \vspace*{-1zw} \begin{center} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 26.0600, 26.4000)( 11.1000,-32.5000) % DOT 0 0 3 0 % 1 2529 2002 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2530 2002 10 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\special{pn 4}% \special{ar 2180 1592 160 160 1.8329162 3.2659476}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 2400 2000 3450 2000 3450 2000 3450 2000 % \special{pn 4}% \special{ar 2400 2000 1050 1050 0.0000000 6.2831853}% % STR 2 0 3 0 % 3 3630 2080 3630 2130 2 0 % $x$ \put(36.3000,-21.3000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2270 730 2270 780 2 0 % $y$ \put(22.7000,-7.8000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2910 964 2910 1030 2 0 % {\footnotesize$F$} \put(29.1000,-10.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$F$}}}% \end{picture}% %\input{hit20013s_zu_2} \end{center} さらに, \begin{gather*} \zettaiti{1 - \alpha^3} = \zettaiti{1 - (-2+2\,i)} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{\vphantom{b} 13} < 4 \\ \zettaiti{1 - \alpha^4} = \zettaiti{1 - (-4)} = 5 > 4 \\ \zettaiti{1 - \alpha^5} = \zettaiti{1 - (-4-4i)} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{\vphantom{b} 41} > 4 \end{gather*} より $\alpha^3$ は $E$ の内部にあり, $\alpha^4,\ \alpha^5$ はともに $E$ の 外部にある. ゆえに {\color[named]{RedViolet}$(*)$} をみたす最大の $n$ は, \begin{gather*} n - 1 = 3\enskip より \enskip \textcolor{red}{\boldsymbol{4}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \end{enumerate} \end{document}