一橋大学 後期 1996年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 後期
年度 1996年度
問No 問5
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  1個のさいころを繰り返し投げ, 出た目を順に掛けて積を作っていく. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $n$回さいころを投げたときはじめて積が12になる確率を求めよ. \item  $n$回さいころを投げたとき積が12である確率を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \item[(2)]  (2)を先に解答する.  さいころの目の出方は全部で $6^n$ 通り.  $n$回さいころを投げて積が12となるのは次のいずれか. %\smallskip \begin{enumerate} \item[(甲)] 2と6が1回ずつ,1が$n-2$回出る場合  目の出方は ${}_n\C_1 \times {}_{n-1}\C_1 \times 1 = n(n-1)$ 通り.\smallskip  よってこの場合の確率は $\dfrac{n(n-1)}{6^n}$. \item[(乙)] 3と4が1回ずつ,1が$n-2$回出る場合  (乙)と同様にその確率は $\dfrac{n(n-1)}{6^n}$. \item[(丙)] 3が1回,2が2回,1が$n-3$回出る場合 \smallskip  目の出方は \smallskip% ${}_n\C_1 \times {}_{n-1}\C_2 \times 1 = \dfrac{n(n-1)(n-2)}{2}$ 通り.  よってこの場合の確率は $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{2 \cdot 6^n}$. \end{enumerate}  (甲),\enskip(乙),\enskip(丙)より, 求めるべき確率を $p_n$ とすれば, \begin{align*} p_n &= \frac{n(n-1)}{6^n} + \frac{n(n-1)}{6^n} + \frac{n(n-1)(n-2)}{2 \cdot 6^n} \\[1mm] &= \frac{4n(n-1) + n(n-1)(n-2)}{2 \cdot 6^n} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{n(n-1)(n+2)}{2 \cdot 6^n} }} \tag*{$\Ans\ \MARU{1}$} \end{align*} $n = 2$ のときは(丙)の確率は0, $n = 1$ のときは(甲),\enskip(乙),\enskip(丙)の すべての確率が0になる. しかし\MARU{1}はこれらの場合にも有効. \newpage \item[(1)]  $n$回目で初めて積が12になる確率を $q_n$ とする.  $p_n$ は$k$回目($2 \leqq k \leqq n$)で初めて積が12になり, $k+1\,~\,n$回目まで1が出続ける確率 \begin{align*} q_k \cdot \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-k} \end{align*} の和だから, \begin{gather*} p_n = \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-2}q_2 + \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-3}q_3 % + \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-4}q_4 + \cdots + \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!2}q_{n-2} + \frac{1}{6}q_{n-1} + q_n \tag*{$\cdotssp\MARU{2}$} \\[1mm] p_{n-1} = \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-3}q_2 + \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-4}q_3 % + \bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n-5}q_4 + \cdots + \frac{1}{6}q_{n-2} + q_{n-1} \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} $\MARU{2} - \MARU{3} \times 1 \slash 6$より, \begin{gather*} q_n = p_n - \frac{1}{6}p_{n-1} \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} \MARU{1},\enskip\MARU{4}より, \begin{align*} q_n &= \frac{n(n-1)(n+2)}{2 \cdot 6^n} - \frac{1}{6} \cdot \frac{(n-1)(n-2)(n+1)}{2 \cdot 6^{n-1}} \\[1mm] &= \frac{(n-1)\{n(n+2) - (n-2)(n+1)\}}{2 \cdot 6^n} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{(n-1)(3n+2)}{2 \cdot 6^n} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}