一橋大学 後期 1991年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 後期
年度 1991年度
問No 問2
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $x$ は0でない実数とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $x + \dfrac{1}{x}$ が整数ならばすべての正の整数 \smallskip$n$ に対して % $x^n + \dfrac{1}{x^n}$ も整数であることを示せ. \item  $x - \dfrac{1}{x}$ が0以外の整数ならば $x^2 - \dfrac{1}{x^2}$ は整数でないことを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  すべての正の整数 $n$ に対して \begin{align*} x^n + \frac{1}{x^n} \in \mathbb{Z} \tag*{$\cdott{\color[named]{BlueViolet}(*)}$} \end{align*} が成り立つことを数学的帰納法によって示す. \medskip \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumii}{(\Roman{enumii})} \item  $n = 1$ のとき.\smallskip 仮定より $x + \dfrac{1}{x} = m_1\,\,\,(m_1 \in \mathbb{Z})$ と おけるから {\color[named]{BlueViolet}$(*)$} は成り立つ.  $n = 2$ のとき. \begin{align*} x^2 + \frac{1}{x^2} = \bigg({x+\frac{1}{x}} \bigg)^{\!\!2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = {m_1}^2 - 2 \in \mathbb{Z} \end{align*} より {\color[named]{BlueViolet}$(*)$} は成り立つ. \item  $n = k-1,\ k$ のとき {\color[named]{BlueViolet}$(*)$} が 成り立つとすれば, \begin{align*} x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}} = m_{k-1},\quad x^k + \frac{1}{x^k} = m_k \quad (m_{k-1},\ m_k \in \mathbb{Z}) \ \cdotssp\MARU{1} \end{align*} とおける. \MARU{1}より, \begin{align*} x^{k+1} + \frac{1}{x^{k+1}} &= \bigg({x + \frac{1}{x}} \bigg)\! \bigg({x^k + \frac{1}{x^k}} \bigg) - x \cdot \frac{1}{x^k} - \frac{1}{x} \cdot x^k \\[1mm] &= \bigg({x + \frac{1}{x}} \bigg)\! \bigg({x^k + \frac{1}{x^k}} \bigg) - \bigg({x^{k-1} + \frac{1}{x^{k-1}}} \bigg) \\ &= m_1m_k - m_{k-1} \in \mathbb{Z} \end{align*} だから $x^{k+1} + \dfrac{1}{x^{k+1}} \in \mathbb{Z}$. よって $n=k+1$ のときも {\color[named]{BlueViolet}$(*)$} は 成り立つ. \end{enumerate}  (I),\enskip(II)より {\color[named]{BlueViolet}$(*)$} は示された. \hfill ■ \newpage \item  $x - \dfrac{1}{x} = q\,\,\,(q \neq 0,\enskip q \in \mathbb{Z})$ とおく. $x^2 - \dfrac{1}{x^2} \in \mathbb{Z}$ を 仮定して矛盾を導く. \begin{align*} x^2 + \frac{1}{x^2} = \bigg({x - \frac{1}{x}} \bigg)^{\!\!2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = \bigg({x - \frac{1}{x}} \bigg)^{\!\!2} + 2 = q^2 + 2 \in \mathbb{Z} \end{align*} よって, \begin{gather*} 2x^2 = \bigg({x^2 + \frac{1}{x^2}} \bigg) + \bigg({x^2 - \frac{1}{x^2}} \bigg) \in \mathbb{Z} \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \\[1mm] \frac{2}{x^2} = \bigg({x^2 + \frac{1}{x^2}} \bigg) - \bigg(x^2 - \frac{1}{x^2} \bigg) \in \mathbb{Z} \qquad \therefore \enskip \frac{4}{2x^2} \in \mathbb{Z} \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} \MARU{2},\enskip\MARU{3}より $2x^2$ は4の約数だから, \begin{align*} 2x^2 = 1,\ 2,\ 4 \end{align*} が必要. \begin{enumerate} \item[(イ)] $2x^2 = 1$ のとき \smallskip  $x^2 = \dfrac{1}{2}$ より % $x = \pm \dfrac{\sqrt{\vphantom{b} 2}}{2}$. よって, \begin{align*} q = x - \frac{1}{x} = \pm \frac{\sqrt{\vphantom{b} 2}}{2} - (\pm \sqrt{\vphantom{b} 2}\,) = \mp \frac{\sqrt{\vphantom{b} 2}}{2} \end{align*} これは $q \in \mathbb{Z}$ に反する. \item[(ロ)] $2x^2 = 2$ のとき  $x^2 = 1$ より $x = \pm 1$ だから \begin{align*} q = \pm 1 - \frac{1}{\pm 1} = \pm 1 - (\pm 1) = 0 \end{align*} これは $q \neq 0$ に反する. \item[(ハ)] $2x^2 = 4$ のとき  $x^2 = 2$ より $x = \pm \sqrt{\vphantom{b} 2}$ だから \begin{align*} q = \pm\sqrt{\vphantom{b} 2} - \frac{1}{\pm \sqrt{\vphantom{b} 2}} = \pm \frac{3}{2} \end{align*} これは $q \in \mathbb{Z}$ に反する. \end{enumerate}  (イ),\enskip(ロ),\enskip(ハ)より % $x^2 - \dfrac{1}{x^2} \not\in \mathbb{Z}$. \hfill ■ \end{enumerate} \newpage \noindent{\color[named]{OliveGreen}\bfseries \Ovalbox{別解}} \vspace{-2mm} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \stepcounter{enumi} \item  $x^2 - \dfrac{1}{x^2} = p\,\,\,(p \in \mathbb{Z})$ を仮定して 矛盾を導く. \begin{gather*} x - \dfrac{1}{x} = q,\quad q \neq 0,\quad q \in \mathbb{Z} \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} とおく. \begin{gather*} p = \bigg(x - \frac{1}{x} \bigg)\! \bigg(x + \frac{1}{x} \bigg) = q\bigg({x + \frac{1}{x}} \bigg) \qquad \therefore \enskip x + \frac{1}{x} = \frac{p}{q} \tag*{$\cdotts\MARU{5}$} \end{gather*} $\MARU{4}+\MARU{5}$より \begin{align*} 2x = q + \frac{p}{q} = \frac{p+q^2}{q} \qquad \therefore \enskip x = \frac{p+q^2}{2q^2} \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{align*} $\MARU{5} - \MARU{4}$より \begin{align*} \frac{2}{x} = \frac{p}{q} - q = \frac{p-q^2}{q} \qquad \therefore \enskip x = \frac{2q}{p-q^2} \tag*{$\cdott\MARU{7}$} \end{align*} \MARU{7},\enskip\MARU{8}より \begin{gather*} \frac{p+q^2}{2q} = \frac{2q}{p-q^2} \\ \qquad 4q^2 = (p+q^2)(p-q^2) = p^2 - q^4 \\ \qquad p^2 = q^2(q^2 + 4) \\ \therefore \enskip p = \pm q\sqrt{q^2 + 4} \end{gather*} $q^2 + 4 \in \mathbb{Z}$ より $p \in \mathbb{Z}$ となるには % $q^2 + 4$ は平方数でなければならない. よって, \begin{align*} q^2 + 4 = m^2,\quad m \geqq 0,\quad m \in \mathbb{Z} \end{align*} と書ける.これより \begin{align*} m^2 - q^2 = 4 \qquad \therefore \enskip (m+q)(m-q) = 4 \tag*{$\cdott\MARU{8}$} \end{align*} \MARU{8}より $m \pm q$ は4の約数. また $(m + q) + (m - q) = 2m =偶数$ だから $m \pm q$ は ともに偶数の4の約数である. ゆえに \begin{align*} \begin{array}{c||c|c} m + q & -2 & 2 \\ \hline m - q & -2 & 2 \end{array} \qquad \therefore \enskip \begin{array}{c||c|c} m & -2 & 2 \\ \hline q & 0 & 0 \end{array} \end{align*} これは $q \neq 0$ に反する.\smallskip ゆえに $x^2 - \dfrac{1}{x^2} \not\in \mathbb{Z}$. \hfill ■ \end{enumerate} \end{document}