九州大学 前期理系 2002年度 問2

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 九州大学
学科・方式 前期理系
年度 2002年度
問No 問2
学部 理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 芸術工 ・ 農
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  正の整数 $a$ に対し, $a$ の正の約数全体の和を $f(a)$ で表す. ただし, 1および $a$ 自身も約数とする. たとえば $f(1) = 1$ であり, $a = 15$ ならば15の約数全体は$1,\ 3,\ 5,\ 15$なので, $f(15) = 24$ となる. 次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $a$ が正の奇数 $b$ と正の整数 $m$ を用いて $a = 2^mb$ と 表されるとする. このとき \[ f(a) = (2^{m+1} - 1)f(b) \] が成り立つことを示せ. \item  $a$ が2以上の整数 $p$ と正の約数 $q$ を用いて $a = pq$ と表されるとする. このとき \[ f(a) \geqq (p + 1)q \] が成り立つことを示せ. また,等号が成り立つのは, $q = 1$ かつ $p$ が素数であるときに限ることを示せ. \item  正の偶数 $a,\ b$ は, ある整数 $m,\ n$ とある奇数 $r,\ s$ を 用いて \\ $a = 2^mr,\enskip b = 2^ns$ のように表すことができる. このとき $a,\ b$ が \[ \left\{ \begin{array}{l} f(a) = 2b \smallskip \\ f(b) = 2a \end{array} \right. \] をみたせば, $r,\ s$ は素数であり, かつ $r = 2^{m+1} - 1,\enskip s = 2^{n+1} - 1$ となることを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  以下,約数は正の約数に限る.  $a$ の約数は $2^k \beta \enskip (0 \leqq k \leqq m,\enskip \beta\,はbの約数)$ の形に書けるから, \begin{align*} f(a) &= \sum_{k=0}^m \sum_{\beta\,はbの約数} 2^k\beta = \sum_{k=0}^m 2^k \bigg( {}\underbrace{\,\sum_{\beta\,はbの約数} \beta\,}_{f(b)}{} \bigg) \\[1mm] &= f(b)\sum_{k=0}^m 2^k = f(b) \times \frac{2^{m+1} - 1}{2 - 1} = (2^{m+1} - 1)f(b) \tag*{■} \end{align*} \item  $a = pq$ のとき $p > 2$ より $pq$ および $q$ は $a$ の互いに異なる約数だから \begin{align*} f(a) \geqq pq + q = (p + 1)q \tag*{$\cdott{\color[named]{OliveGreen}(*)}$} \end{align*} これで不等式は示された.  次に, \begin{align*} {\color[named]{OliveGreen}(*)}で等号が成り立つ \enskip \Longleftrightarrow \,\,\, q > 1\enskip \wedge\enskip pは素数 \tag*{$\cdott {\color[named]{RedViolet}(\maltese)}$} \end{align*} を示す.  $\Longleftarrow$の証明. $a = p \cdot 1 = p$ の約数は $1,\ p$ だから $f(a) = f(p) = p + 1$. よって {\color[named]{OliveGreen}$(*)$} で等号が成り立つ.  $\Longrightarrow$の証明. 背理法で示す. $q > 1$ ならば1は $q,\ pq$ と異なる $a$ の約数だから, \begin{align*} pq + q = f(a) \geqq pq + q + 1 \qquad \therefore \,\,\, 0 \geqq 1 \end{align*} となり矛盾.したがって $q = 1$.  このとき $f(a) = p + 1$ だから $a$ の約数は1と $p$ のみである. $p$ が合成数ならば素因数 $\alpha\,\,\,(1 < \alpha < p)$ をもつ. $\alpha$ は $a$ の素因数でもあるから, \begin{align*} p + 1 = f(a) \geqq p + \alpha + 1 \qquad \therefore \,\,\, 0 \geqq \alpha > 1 \end{align*} となり不合理. ゆえに $p$ は素数である.  以上で {\color[named]{RedViolet}$(\maltese)$} は示された. \hfill ■ \item  (1)の等式より, \begin{gather*} f(a) = f(2^mr) = (2^{m+1} - 1)f(r),\quad f(b) = f(2^ns) = (2^{n+1} - 1)f(s) \end{gather*} $f(a) = 2b,\enskip f(b) = 2a = 8r$ より, \begin{gather*} (2^{m+1} - 1)f(r) = 2^{n+1}s \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \\ (2^{n+1} - 1)f(s) = 2^{m+1}r \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{gather*} $2^{m+1} - 1$ と $2^{n+1}$ は互いに素である. 何故ならば $2^{n+1}$ の素因数は2のみであり, $2^{m+1} - 1$ は奇数だから2を素因数にもたないからである. したがって\MARU{1}より $s$ は $2^{m+1} - 1$ の倍数. 同様に $r$ は $2^{n+1} - 1$ の倍数である. ゆえに \begin{align*} r = (2^{n+1} - 1)R,\quad s = (2^{m+1} - 1)S \quad (R,\ Sは正の整数) \tag*{$\cdots\cdotssp\MARU{3}$} \end{align*} と書ける.  $a$ は正の偶数だから $m \geqq 1$. よって $2^{m+1} - 1 \geqq 2^2 - 1 > 2$. $b$ も正の偶数だから $2^{n+1} - 1 \geqq 2$. だから {\color[named]{OliveGreen}$(*)$} を % $pq = r = (2^{n+1} - 1)R,\enskip p = 2^{n+1} - 1,\enskip q = R$ あるいは $pq = s = (2^{m+1} - 1)S,\enskip p = 2^{m+1} - 1,\enskip q = S$ として用いることができる. その結果, \begin{gather*} f(r) = f((2^{n+1} - 1)R) \geqq 2^{n+1}R \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \\ f(s) = f((2^{m+1} - 1)S) \geqq 2^{m+1}S \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \end{gather*} \MARU{1}\,~\,\MARU{5}より \begin{gather*} (2^{m+1}-1) \cdot 2^{n+1}R \leqq (2^{m+1}-1)f(r) = 2^{n+1}(2^{m+1} - 1)S \\ \therefore \,\,\, R \leqq S \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \\ (2^{n+1} - 1) \cdot 2^{m+1}S \leqq (2^{n+1}-1)f(s) = 2^{m+1} \cdot (2^{n+1} - 1)R \\ \therefore \,\,\, S \leqq R \tag*{$\cdott\MARU{7}$} \end{gather*} \MARU{6},\enskip\MARU{7}より $R = S$ を得る. したがって, \begin{gather*} (2^{m+1} - 1)f(r) = (2^{m+1}-1) \cdot 2^{n+1}R \\ \therefore \enskip f((2^{n+1} - 1)R) = 2^{n+1}R \tag*{$\cdott\MARU{8}$} \\ (2^{n+1} - 1)f(s) = (2^{n+1}-1) \cdot 2^{m+1}S \\ \therefore \enskip f((2^{m+1} - 1)S) = 2^{m+1}S \tag*{$\cdott\MARU{9}$} \end{gather*} {\color[named]{RedViolet}$(\maltese)$},\enskip\MARU{8}より, \begin{gather*} R = 1 \enskip\wedge\enskip 2^{n+1} - 1\>は素数 \\ \therefore \enskip r = (2^{n+1} - 1)R = 2^{n+1} - 1\>は素数 \end{gather*} {\color[named]{RedViolet}$(\maltese)$},\enskip\MARU{9}より, \begin{gather*} S = 1 \enskip\wedge\enskip 2^{m+1} - 1\>は素数 \\ \therefore \,\,\, s = (2^{m+1} - 1)S = 2^{m+1} - 1\>は素数 \end{gather*} 以上で主張は示された. \hfill ■ \end{enumerate} \end{document}