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解答作成者: 森 宏征
入試情報
大学名 |
九州大学 |
学科・方式 |
文系 |
年度 |
2002年度 |
問No |
問2 |
学部 |
文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
|
カテゴリ |
|
状態 |
 |
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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport}
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\begin{document}
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\begin{FRAME}
正の整数 $a$ に対し,
$a$ の正の約数全体の和を $f(a)$ で表す.
ただし,1および $a$ 自身も約数とする.
たとえば $f(1) = 1$ であり,
$a = 15$ ならば15の正の約数は1,\ 3,\ 5,\ 15なので,
$f(15) = 24$ となる.
次の問いに答えよ.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
$a$ が正の奇数 $b$ と正の約数 $m$ を用いて $a = 2^mb$ と
表されるとする.
このとき
\[
f(a) = (2^{m+1} - 1)f(b)
\]
が成り立つことを示せ.\smallskip
必要ならば,
$1 + r + \cdots + r^m = \dfrac{r^{m+1} - 1}{r - 1}\,\,\,(r \neq 1)$ を
用いてよい.
\item
$a$ が2以上の整数 $p$ と正の約数 $q$ を用いて $a = pq$ と
表されるとする.
このとき
\[
f(a) \geqq (p + 1)q
\]
が成り立つことを示せ.
また,等号が成り立つのは,
$q = 1$ かつ $p$ が素数であるときに限ることを示せ.
\item
$a = 2^2r,\,\,\,b = 2^4s\,\,\,(r,\ sは正の奇数)$ の形をした
偶数 $a,\ b$ を考える.
\[
\left\{
\begin{array}{l}
f(a) = 2b \smallskip \\
f(b) = 2a
\end{array}
\right.
\]
をみたす $a,\ b$ を求めよ.
\end{enumerate}
\end{FRAME}
\vskip 2mm
\noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\item
以下,約数は正の約数に限る.
$a$ の約数は $2^k \beta \enskip
(0 \leqq k \leqq m,\enskip \beta\,はbの約数)$ の形に書けるから,
\begin{align*}
f(a)
&= \sum_{k=0}^m
\sum_{\beta\,はbの約数}
2^k\beta
= \sum_{k=0}^m 2^k
\bigg(
{}\underbrace{\,\sum_{\beta\,はbの約数} \beta\,}_{f(b)}{}
\bigg) \\[1mm]
&= f(b)\sum_{k=0}^m 2^k
= f(b) \times \frac{2^{m+1} - 1}{2 - 1}
= (2^{m+1} - 1)f(b)
\tag*{■}
\end{align*}
\item
$a = pq$ のとき $p > 2$ より $pq$ および $q$ は $a$ の互いに異なる約数だから
\begin{align*}
f(a) \geqq pq + q = (p + 1)q
\tag*{$\cdott{\color[named]{VioletRed}(*)}$}
\end{align*}
これで不等式は示された.
次に,
\begin{align*}
{\color[named]{VioletRed}(*)}で等号が成り立つ \enskip
\Longleftrightarrow \,\,\,
q > 1\enskip \wedge\enskip pは素数
\tag*{$\cdott{\color[named]{MidnightBlue}(\maltese)}$}
\end{align*}
を示す.
$\Longleftarrow$の証明.
$a = p \cdot 1 = p$ の約数は $1,\ p$ だから $f(a) = f(p) = p + 1$.
よって {\color[named]{VioletRed}$(*)$} で等号が成り立つ.
$\Longrightarrow$の証明.
背理法で示す.
$q > 1$ ならば1は $q,\ pq$ と異なる $a$ の約数だから,
\begin{align*}
pq + q = f(a) \geqq pq + q + 1 \qquad
\therefore \,\,\,
0 \geqq 1
\end{align*}
となり矛盾.したがって $q = 1$.
このとき $f(a) = p + 1$ だから $a$ の約数は1と $p$ のみである.
$p$ が合成数ならば素因数 $\alpha\,\,\,(1 < \alpha < p)$ をもつ.
$\alpha$ は $a$ の素因数でもあるから,
\begin{align*}
p + 1 = f(a) \geqq p + \alpha + 1 \qquad
\therefore \,\,\,
0 \geqq \alpha > 1
\end{align*}
となり不合理.
ゆえに $p$ は素数である.
以上で {\color[named]{MidnightBlue}$(\maltese)$} は示された.
\hfill ■
\item
(1)の等式より,
\begin{gather*}
f(a) = f(2^2r) = (2^3 - 1)f(r) = 7f(r) \\
f(b) = f(2^4s) = (2^5 - 1)f(s) = 31f(s)
\end{gather*}
$f(a) = 2b = 32s,\,\,\,f(b) = 2a = 8r$ より
\begin{align*}
7f(r) = 32s \enskip
\cdott\MARU{1},
&&
31f(s) = 8r \enskip
\cdott\MARU{2}
\end{align*}
7と32は互いに素だから\MARU{1}より $s$ は7の倍数.
また31と8は互いに素だから\MARU{2}より $r$ は31の倍数.
ゆえに
\begin{align*}
r = 31R,\quad
s = 7S \quad
(R,\ Sは正の整数)
\tag*{$\cdott\MARU{3}$}
\end{align*}
と書ける.
{\color[named]{VioletRed}$(*)$} を $pq = r = 31R,\enskip
p = 31,\enskip q = R$ あるいは $pq = s = 7S,\enskip
p = 7,\,\,\,q = S$ として用いれば
\begin{align*}
f(r) \geqq 32R,\quad
f(s) \geqq 8S
\tag*{$\cdott\MARU{4}$}
\end{align*}
\MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{3},\enskip\MARU{4}より
\begin{alignat*}{4}
& 7 \cdot 32R \leqq 7f(r) = 32 \cdot 7S
& \qquad
& \therefore \,\,\,
R \leqq S \\
& 31 \cdot 8S \leqq 31f(s) = 8 \cdot 31R
& \qquad
& \therefore \,\,\,
S \leqq R
\end{alignat*}
ゆえに $R = S$.だから,
\begin{gather*}
7f(r) = 32 \cdot 7R,\quad
31f(s) = 8 \cdot 31S \\
\therefore \enskip
f(r) = 32R,\quad
f(s) = 8S
\end{gather*}
31および7のどちらも素数だから %
{\color[named]{MidnightBlue}$(\maltese)$} より,
\begin{align*}
R = S = 1 \qquad
\therefore \,\,\,
r = 31,\quad
s = 7
\end{align*}
$a = 2^2r,\enskip b = 2^4s$ より,
\begin{align*}
a = 4 \cdot 31 = \textcolor{red}{\boldsymbol{124}},\quad
b = 16 \cdot 7 = \textcolor{red}{\boldsymbol{112}}
\tag*{$\Ans$}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{document}