すうじあむ

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{720pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME} 　正の整数 $a$ に対し， $a$ の正の約数全体の和を $f(a)$ で表す． ただし，1および $a$ 自身も約数とする． たとえば $f(1) = 1$ であり， $a = 15$ ならば15の正の約数は1,\ 3,\ 5,\ 15なので， $f(15) = 24$ となる． 次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　$a$ が正の奇数 $b$ と正の約数 $m$ を用いて $a = 2^mb$ と 表されるとする． このとき \[ f(a) = (2^{m+1} - 1)f(b) \] が成り立つことを示せ．\smallskip 必要ならば， $1 + r + \cdots + r^m = \dfrac{r^{m+1} - 1}{r - 1}\,\,\,(r \neq 1)$ を 用いてよい． \item 　$a$ が2以上の整数 $p$ と正の約数 $q$ を用いて $a = pq$ と 表されるとする． このとき \[ f(a) \geqq (p + 1)q \] が成り立つことを示せ． また，等号が成り立つのは， $q = 1$ かつ $p$ が素数であるときに限ることを示せ． \item 　$a = 2^2r,\,\,\,b = 2^4s\,\,\,(r,\ sは正の奇数)$ の形をした 偶数 $a,\ b$ を考える． \[ \left\{ \begin{array}{l} f(a) = 2b \smallskip \\ f(b) = 2a \end{array} \right. \] をみたす $a,\ b$ を求めよ． \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item 　以下，約数は正の約数に限る． 　$a$ の約数は $2^k \beta \enskip (0 \leqq k \leqq m,\enskip \beta\,はbの約数)$ の形に書けるから， \begin{align*} f(a) &= \sum_{k=0}^m \sum_{\beta\,はbの約数} 2^k\beta = \sum_{k=0}^m 2^k \bigg( {}\underbrace{\,\sum_{\beta\,はbの約数} \beta\,}_{f(b)}{} \bigg) \\[1mm] &= f(b)\sum_{k=0}^m 2^k = f(b) \times \frac{2^{m+1} - 1}{2 - 1} = (2^{m+1} - 1)f(b) \tag*{■} \end{align*} \item 　$a = pq$ のとき $p > 2$ より $pq$ および $q$ は $a$ の互いに異なる約数だから \begin{align*} f(a) \geqq pq + q = (p + 1)q \tag*{$\cdott{\color[named]{VioletRed}(*)}$} \end{align*} これで不等式は示された． 　次に， \begin{align*} {\color[named]{VioletRed}(*)}で等号が成り立つ \enskip \Longleftrightarrow \,\,\, q > 1\enskip \wedge\enskip pは素数 \tag*{$\cdott{\color[named]{MidnightBlue}(\maltese)}$} \end{align*} を示す． 　$\Longleftarrow$の証明． $a = p \cdot 1 = p$ の約数は $1,\ p$ だから $f(a) = f(p) = p + 1$． よって {\color[named]{VioletRed}$(*)$} で等号が成り立つ． 　$\Longrightarrow$の証明． 背理法で示す． $q > 1$ ならば1は $q,\ pq$ と異なる $a$ の約数だから， \begin{align*} pq + q = f(a) \geqq pq + q + 1 \qquad \therefore \,\,\, 0 \geqq 1 \end{align*} となり矛盾．したがって $q = 1$． 　このとき $f(a) = p + 1$ だから $a$ の約数は1と $p$ のみである． $p$ が合成数ならば素因数 $\alpha\,\,\,(1 < \alpha < p)$ をもつ． $\alpha$ は $a$ の素因数でもあるから， \begin{align*} p + 1 = f(a) \geqq p + \alpha + 1 \qquad \therefore \,\,\, 0 \geqq \alpha > 1 \end{align*} となり不合理． ゆえに $p$ は素数である． 　以上で {\color[named]{MidnightBlue}$(\maltese)$} は示された． \hfill ■ \item 　(1)の等式より， \begin{gather*} f(a) = f(2^2r) = (2^3 - 1)f(r) = 7f(r) \\ f(b) = f(2^4s) = (2^5 - 1)f(s) = 31f(s) \end{gather*} $f(a) = 2b = 32s,\,\,\,f(b) = 2a = 8r$ より \begin{align*} 7f(r) = 32s \enskip \cdott\MARU{1}, && 31f(s) = 8r \enskip \cdott\MARU{2} \end{align*} 7と32は互いに素だから\MARU{1}より $s$ は7の倍数． また31と8は互いに素だから\MARU{2}より $r$ は31の倍数． ゆえに \begin{align*} r = 31R,\quad s = 7S \quad (R,\ Sは正の整数) \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} と書ける． 　{\color[named]{VioletRed}$(*)$} を $pq = r = 31R,\enskip p = 31,\enskip q = R$ あるいは $pq = s = 7S,\enskip p = 7,\,\,\,q = S$ として用いれば \begin{align*} f(r) \geqq 32R,\quad f(s) \geqq 8S \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} \MARU{1},\enskip\MARU{2},\enskip\MARU{3},\enskip\MARU{4}より \begin{alignat*}{4} & 7 \cdot 32R \leqq 7f(r) = 32 \cdot 7S & \qquad & \therefore \,\,\, R \leqq S \\ & 31 \cdot 8S \leqq 31f(s) = 8 \cdot 31R & \qquad & \therefore \,\,\, S \leqq R \end{alignat*} ゆえに $R = S$．だから， \begin{gather*} 7f(r) = 32 \cdot 7R,\quad 31f(s) = 8 \cdot 31S \\ \therefore \enskip f(r) = 32R,\quad f(s) = 8S \end{gather*} 31および7のどちらも素数だから % {\color[named]{MidnightBlue}$(\maltese)$} より， \begin{align*} R = S = 1 \qquad \therefore \,\,\, r = 31,\quad s = 7 \end{align*} $a = 2^2r,\enskip b = 2^4s$ より， \begin{align*} a = 4 \cdot 31 = \textcolor{red}{\boldsymbol{124}},\quad b = 16 \cdot 7 = \textcolor{red}{\boldsymbol{112}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}