千葉大学 前期(理) 2004年度 問8

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 千葉大学
学科・方式 前期(理)
年度 2004年度
問No 問8
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 薬学部 ・ 看護学部 ・ 工学部 ・ 園芸学部
カテゴリ
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $n$ を自然数とする. $n$次多項式 $P_n(x)$ は, $n+1$個の整数 $k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$ に対して \begin{align*} P_n(k) = 2^k - 1 \end{align*} を満たす. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $P_2(x) - P_1(x)$ および $P_3(x) - P_2(x)$ を因数分解せよ. \item  $P_n(x)$ を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $P_n(k) = 2^k - 1 \ \cdott{\color[named]{RedViolet}(*)}$ とおく. {\color[named]{RedViolet}$(*)$} より \begin{gather*} P_2(0) - P_1(0) = (2^0 - 1) - (2^0 - 1) = 0 \\ P_2(1) - P_1(1) = (2^1 - 1) - (2^1 - 1) = 0 \end{gather*} だから因数定理より2次式 $P_2(x) - P_1(x)$ は $x(x-1)$ で 割り切れる.したがって定数 $a_2$ を用いて, \begin{gather*} P_2(x) - P_1(x) = a_2x(x-1) \\ \therefore \enskip P_2(x) = a_2x(x-1) + P_1(x) \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{gather*} と表せる. $P_1(x) = a_1x + b_1$ とおく. {\color[named]{RedViolet}$(*)$} より, \begin{gather*} P_1(0) = b_1 = 2^0 - 1 = 0,\quad P_1(1) = a_1 + b_1 = 2^1 - 1 = 1 \\ \therefore \enskip a_1 = 1,\quad b_1 = 0 \quad これより \quad P_1(x) = x \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{gather*} \MARU{1},\enskip\MARU{2}より, \begin{align*} P_2(x) = a_2x(x-1) + x \tag*{$\cdott\raisebox{-0.3mm} {\large {\color[named]{OliveGreen}\ding{"B6}}}$} \end{align*} {\color[named]{RedViolet}$(*)$} % および\,\raisebox{-0.3mm} {\large {\color[named]{OliveGreen}\ding{"B6}}}より, \begin{gather*} P_2(2) = 2a_2 + 2 = 2^2 - 1 = 3 \qquad \therefore \enskip a_2 = \frac{1}{2} \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} \raisebox{-0.3mm} {\large {\color[named]{OliveGreen}\ding{"B6}}},\enskip\MARU{3}より, \begin{align*} P_2(x) - P_1(x) = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{2}x(x-1)}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} このとき $P_2(x) = \dfrac{1}{2}x(x - 1) + x$ である. さらに $k = 0,\ 1,\ 2$ に対して \begin{align*} P_3(k) - P_2(k) = 0 \end{align*} だから因数定理より3次式 $P_3(x) - P_2(x)$ は $x(x-1)(x-2)$ で 割り切れる.したがって定数 $a_3$ を用いて, \begin{gather*} P_3(x) - P_2(x) = a_3x(x-1)(x-2) \\ \therefore \enskip P_3(x) = a_3x(x-1)(x-2) + P_2(x) \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} と表せる. {\color[named]{RedViolet}$(*)$} および\MARU{4}より \begin{gather*} P_3(3) = 6a_3 + 3 + 3 = 2^3 - 1 = 7 \qquad \therefore \enskip a_3 = \frac{1}{6} \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \end{gather*} \MARU{4},\enskip\MARU{5}より, \begin{align*} P_3(x) - P_2(x) = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  (1)の結果より, \begin{gather*} P_1(x) = \frac{1}{1!}x,\quad P_2(x) = \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x(x-1) \displaybreak[0] \\[1mm] P_3(x) = \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x(x-1) + \frac{1}{3!}x(x-1)(x-2) \end{gather*} であり, \begin{align*} P_n(x) &= \{P_n(x) - P_{n-1}(x)\} + \{P_{n-1}(x) - P_{n-2}(x)\} + \cdotss \\ &\qquad{} + \{P_2(x) - P_1(x)\} + P_1(x) \\ &= P_1(x) + \sum_{j=1}^{n-1}\{P_{j+1}(x) - P_j(x)\} \end{align*} だから, $n \in \mathbb{N}$ に対して, \begin{gather*} P_n(x) = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{(j+1)!}x(x-1) \cdots (x - j) \tag*{$\cdott{\color[named]{MidnightBlue}(**)}$} \end{gather*} であると推定できる. {\color[named]{MidnightBlue}$(**)$} を数学的帰納法で示す. \begin{enumerate} \item[(I)]  $n = 1$ のとき. (1)の結果より \smallskip$P_1(x) = x = \dfrac{1}{(1+0)!}x$ % だから {\color[named]{MidnightBlue}$(**)$} は成り立つ. \item[(II)]  $n = m$ のとき {\color[named]{MidnightBlue}$(**)$} が 正しいとすれば, \begin{align*} P_m(x) = \sum_{j=0}^{m-1} \frac{1}{(j+1)!}x(x-1) \cdots (x-j) \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \end{align*} {\color[named]{RedViolet}$(*)$} より % $k = 0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ m$ に対して, \begin{gather*} P_{m+1}(k) - P_m(k) = (2^k - 1) - (2^k - 1) = 0 \end{gather*} だから因数定理より$m+1$次式 $P_{m+1}(x) - P_m(x)$ は % $x(x-1) \cdots (x - m)$ で割り切れる. したがって定数 $a_{m+1}$ を用いて, \begin{gather*} P_{m+1}(x) - P_m(x) = a_{m+1}x(x-1) \cdots (x - m) \\ \therefore \enskip P_{m+1}(x) = a_{m+1}x(x - 1) \cdots (x - m) + P_m(x) \end{gather*} と表せる.\MARU{6}より, \begin{align*} P_{m+1}(x) &= a_{m+1}x(x-1) \cdots (x - m) \\ &\qquad{} + \sum_{j=0}^{m-1} \frac{1}{(j+1)!}x(x-1) \cdots (x-j) \tag*{$\cdott\MARU{7}$} \end{align*} \MARU{7}の両辺に $x = m + 1$ を代入して, \begin{gather*} P_{m+1}(m+1) \\ = a_{m+1}(m+1)! + \sum_{j=0}^{m-1} \frac{(m+1)m(m-1) \cdots (m+1 - j)}{(j+1)!} \\ = a_{m+1}(m+1)! + {}_{m+1}\C_1 + {}_{m+1}\C_2 + \cdots + {}_{m+1}\C_m \tag*{$\cdott\MARU{8}$} \end{gather*} 二項定理より, \begin{align*} (1 + x)^{m+1} = {}_{m+1}\C_0 + {}_{m+1}\C_1\,x + \cdots + {}_{m+1}\C_m\,x^m + {}_{m+1}\C_{m+1}\,x^{m+1} \end{align*} この両辺に $x = 1$ を代入し, ${}_{m+1}\C_0 = {}_{m+1}\C_{m+1} = 1$ を用いて整理すれば, \begin{gather*} (1 + 1)^{m+1} = {}_{m+1}\C_0 + {}_{m+1}\C_1 + {}_{m+1}\C_2 + \cdots + {}_{m+1}\C_m + {}_{m+1}\C_{m+1} \\ \therefore \enskip {}_{m+1}\C_1 + {}_{m+1}\C_2 + \cdots + {}_{m+1}\C_m % = 2^{m+1} - {}_{m+1}\C_0 - {}_{m+1}\C_{m+1} = 2^{m+1} - 2 \tag*{$\cdott\MARU{9}$} \end{gather*} $P_{m+1}(m + 1) = 2^{m+1} - 1$ および\MARU{8},\enskip\MARU{9}より, \begin{gather*} 2^{m+1} - 1 = a_{m+1}(m + 1)! + 2^{m+1} - 2 \\ \therefore \enskip a_{m+1} = \frac{1}{(m + 1)!} \tag*{$\cdott\MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw} {\raisebox{0.2mm}{10}}}$} \end{gather*} \MARU{7},\enskip% \MARU{\resizebox{0.64zw}{0.62zw}{\raisebox{0.2mm}{10}}}より, \begin{align*} P_{m+1}(x) &= \frac{1}{(m+1)!}x(x-1) \cdots (x - m) \\[1mm] &\qquad{} + \sum_{j=0}^{m-1} \frac{1}{(j+1)!} x(x-1) \cdots (x - j) \\[1mm] &= \sum_{j=0}^m \frac{1}{(j+1)!}x(x-1) \cdots (x - j) \end{align*} よって $n = m + 1$ のときも % {\color[named]{MidnightBlue}$(**)$} は成り立つ. \end{enumerate}  (I),\enskip(II)より {\color[named]{MidnightBlue}$(**)$} は証明された. ゆえに \begin{align*} P_n(x) = \textcolor{red}{\boldsymbol{ \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{(j+1)!}x(x-1) \cdots (x - j) }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}