一橋大学 前期 1999年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 1999年度
問No 問4
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \def\cdotts{{\cdots\cdotssp}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  曲線 $y=x^3$ と直線 $y=3x+a$ が異なる3点で 交わるような $a$ の値の範囲を求めよ. \item  $a$ が(1)の範囲を動くとき,3つの交点をA,\enskip B,\enskip Cとし, 点$(a,\ 4a)$をDとする. 3つの線分の長さの積 $\D\A \cdot \D\B \cdot \D\C$ の 最大値を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $y = x^3$ と $y = 3x + a$ の共有点の$x$座標は \begin{gather*} x^3 = 3x + a \quad すなわち \quad x^3 - 3x = a \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{gather*} の実数解である. \begin{align*} y = x^3 - 3x \enskip\cdott\MARU{2}, && y = a \enskip\cdott\MARU{3} \end{align*} とおけば\MARU{1}の 実数解は\MARU{2}と\MARU{3}の共有点の$x$座標である. したがって\MARU{2}と\MARU{3}が異なる3つの共有点をもつ ような $a$ の値域が求めるものである. \vskip 0zw \noindent\begin{minipage}{260pt}  $f(x) = x^3 - 3x$ とおく. \begin{align*} f'(x) &= 3x^2 - 3 \\ &= 3(x^2 - 1) \\ &= 3(x + 1)(x - 1) \end{align*} \vspace*{-1.5zw} \begin{gather*} \scalebox{0.9}{$\begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{極大} & \searrow & \text{極小} & \nearrow \end{array}$} \end{gather*} \end{minipage} \begin{minipage}{100pt} %WinTpicVersion4.32a {\unitlength 0.1in% \begin{picture}(16.3000,18.2600)(12.0000,-25.6100)% % VECTOR 2 0 3 0 Black White % 2 1978 2561 1978 746 % \special{pn 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\put(21.3000,-23.3000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y=-2$}}}% % STR 2 0 3 0 Black White % 4 1210 950 1210 1060 2 0 0 0 % {\footnotesize$y=2$} \put(12.1000,-10.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y=2$}}}% % STR 2 0 3 0 Black White % 4 2560 770 2560 880 2 0 0 0 % {\footnotesize$y=x^3-3x$} \put(25.6000,-8.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$y=x^3-3x$}}}% % DOT 0 0 3 0 Black White % 1 1868 1342 % \special{pn 4}% \special{sh 1}% \special{ar 1868 1342 16 16 0 6.2831853}% % DOT 0 0 3 0 Black White % 1 2470 1342 % \special{pn 4}% \special{sh 1}% \special{ar 2470 1342 16 16 0 6.2831853}% % DOT 0 0 3 0 Black White % 1 1595 1342 % \special{pn 4}% \special{sh 1}% \special{ar 1595 1342 16 16 0 6.2831853}% % STR 2 0 3 0 Black White % 4 1420 1371 1420 1480 2 0 0 0 % {\footnotesize A} \put(14.2000,-14.8000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize A}}}% % STR 2 0 3 0 Black White % 4 1750 1280 1750 1390 1 0 0 0 % {\footnotesize B} \put(17.5000,-13.9000){\makebox(0,0)[lt]{{\footnotesize B}}}% % STR 2 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\MARU{1}$} \end{gather*} \item  A,\enskip B,\enskip Cの$x$座標を それぞれ順に $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ とする.  A,\enskip B,\enskip Cは $y = 3x + a$ 上の点だから, \begin{align*} \A = (\alpha,\ 3\alpha + a),\quad \B = (\beta,\ 3\beta + a),\quad \C = (\gamma,\ 3\gamma + a) \end{align*} したがって, \begin{align*} \D\A = \sqrt{\vphantom{b} (\alpha - a)^2 + 3^2(\alpha - a)^2} = \sqrt{\vphantom{b} 10}\,\zettaiti{a-\alpha} \end{align*} 同様に, \begin{gather*} \D\B = \sqrt{\vphantom{b} 10}\,\zettaiti{a-\beta},\quad \D\C = \sqrt{\vphantom{b} 10}\,\zettaiti{a-\gamma} \end{gather*} $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ は\MARU{1}の解だから, \begin{align*} x^3 - 3x - a = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) \end{align*} 両辺に $x = a$ を代入して, \begin{align*} (a - \alpha)(a - \beta)(a - \gamma) = a^3 - 3a - a = a^3 - 4a \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{align*} \MARU{2}より, \begin{align*} \D\A \cdot \D\B \cdot \D\C &= (\sqrt{\vphantom{b} 10}\,)^3\zettaiti{a - \alpha} \cdot \zettaiti{a - \beta} \cdot \zettaiti{a - \gamma} \\ &= 10\sqrt{\vphantom{b} 10}\,\zettaiti{(a-\alpha)(a-\beta)(a-\gamma)} \\ &= 10\sqrt{\vphantom{b} 10}\,g(a) \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{align*} ただし,$g(a) = a^3 - 4a$ である. \MARU{1}のもとで $g(a)$ の値域を求める.\\ %\hspace*{-1.6zw} \begin{minipage}{100pt} \begin{align*} \hspace*{-1.7zw} g'(a) &= 3a^2 - 4 \\ \hspace*{-1.6zw}&= 3\bigg(a + \dfrac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}\bigg)\! \bigg(x - \dfrac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}\bigg) \end{align*} 増減表より, \end{minipage} \hspace*{1zw}\begin{minipage}{100pt} \scalebox{0.95}{$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} a & (-2) & \cdots & \raisebox{0.2zw}{$-\frac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}$} & \cdots & \raisebox{0.2zw}{$\frac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}$} & \cdots & (2) \\ \hline g'(a) & {} & + & 0 & - & 0 & + & {} \\ \hline g(a) & (0) & \nearrow & \frac{16}{3\sqrt{\vphantom{b} 3}} & \searrow & -\frac{16}{3\sqrt{\vphantom{b} 3}} & \nearrow & (0) \end{array}$} \end{minipage} \begin{align*} 0 < \zettaiti{g(a)} \leqq \frac{16}{3\sqrt{\vphantom{b} 3}} \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{align*} \MARU{3},\enskip\MARU{4}より $\D\A \cdot \D\B \cdot \D\C$ の 最大値は, \begin{align*} 10\sqrt{\vphantom{b} 10}\, g\bigg({\pm\frac{2}{\sqrt{\vphantom{b} 3}}}\bigg) = 10\sqrt{\vphantom{b} 10} \cdot \frac{16}{3\sqrt{\vphantom{b} 3}} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{160\sqrt{\vphantom{b} 30}}{9}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}