大阪大学 前期理系 2014年度 問5

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2014年度
問No 問5
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 確率
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  さいころを繰り返し投げ, $n$回目に出た目を $X_n$ とする. $n$回目に出た目の積 $X_1X_2 \cdots X_n$ を $T_n$ で表す. $T_n$ を5で割った余りが1である確率を $p_n$ とし, 余りが 2,\ 3,\ 4のいずれかである確率を $q_n$ とする. \begin{enumerate} \item[(1)]  $p_n + q_n$ を求めよ. %\medskip \item[(2)]  $p_{n+1}$ を $p_n$ と $n$ を用いて表せ. %\medskip \item[(3)]  $r_n = \left(\dfrac{6}{5} \right)^{\!\! n} p_n$ とおいて $r_n$ を 求めることにより, $p_n$ を $n$ の式で表せ. %\hfill(配点率20%) \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $T_n$ を5で割った余りを $U_n$ とする. 事象 $E_n,\ F_n$ を \begin{gather*} E_n : U_n = 1,\quad F_n : U_n = 2,\ 3,\ 4 \end{gather*} とする. $p_n = P(E_n),\enskip q_n = P(F_n)$ である. $E_n \cap F_n = \varnothing$ だから, \begin{align*} p_n + q_n &= P(E_n \cup F_n) = P(U_n \neq 0) = P\scalebox{0.9}{$\begin{pmatrix} n回のうち1度も \\ 5が出ない \end{pmatrix}$} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{\!\!n} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} %\medskip \item  $U_n = 0$ から $E_{n+1},\ F_{n+1}$ への遷移は ない.  そこで $(E_n,\ F_n)$ から $E_{n+1}$ への遷移を考えると,右表より,\\ \begin{minipage}{200pt} \begin{align*} p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{6}q_n \end{align*} $q_n = \bigg(\dfrac{5}{6}\bigg)^{\!\!n} - p_n$ を 代入して, \begin{align*} p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{6}\left\{\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{\!\!n} - p_n\right\} \\[-1.7zw] \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{100pt} \begin{align*} \begin{array}{c||c|c} U_n & X_{n+1} & U_{n+1}\\ \hline 1 & 1,\ 6 & 1 \\ \hline 2 & 3 & 1 \\ \hline 3 & 2 & 1 \\ \hline 4 & 4 & 1 \end{array} \end{align*} \end{minipage} \begin{gather*} \therefore \enskip \textcolor{red}{\boldsymbol{ p_{n+1} = \frac{1}{6}p_n + \frac{1}{6}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{\!\!n} }} \tag*{$\Ans\ \MARU{1}$} \end{gather*} %\medskip \item  \MARU{1}の両辺に $\bigg(\dfrac{6}{5}\bigg)^{\!\!n+1}$ を掛けて, $r_n = \bigg(\dfrac{6}{5}\bigg)^{\!\!n}p_n$ を用いると, \begin{gather*} \bigg(\frac{6}{5}\bigg)^{\!\!n+1}p_{n+1} = \frac{1}{5}\bigg(\frac{6}{5}\bigg)^{\!\!n}p_n + \frac{1}{5} \\[1mm] \qquad r_{n+1} = \frac{1}{5}r_n + \frac{1}{5} \\[1mm] \therefore \enskip r_{n+1} - \frac{1}{4} = \frac{1}{5}\bigg(r_n - \frac{1}{4}\bigg) \tag*{$\cdott\MARU{2}$} \end{gather*} $r_1 = \dfrac{6}{5}p_1 = \dfrac{6}{5}P(X_1 =1,\ 6) = \dfrac{2}{5}$ だから\MARU{2}を繰り返し用いると, \begin{gather*} r_n - \frac{1}{4} = \bigg(\frac{1}{5}\bigg)^{\!\!n-1} \bigg(\frac{2}{5} - \frac{1}{4}\bigg) = \frac{3}{4}\bigg(\frac{1}{5}\bigg)^{\!\!n} \\[1mm] \therefore \enskip r_n = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\bigg(\frac{1}{5}\bigg)^{\!\!n} \end{gather*} ゆえに \begin{align*} p_n &= \bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{\!\!n}r_n = \bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{\!\!n} \left\{ \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\bigg(\frac{1}{5}\bigg)^{\!\!n} \right\} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{1}{4} \left\{ \bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{\!\!n} + 3\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^{\!\!n} \right\} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}