秋田大学 後期(工学資源学部) 1993年度 問4

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 秋田大学
学科・方式 後期(工学資源学部)
年度 1993年度
問No 問4
学部 工学資源学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  2つの関数 $f(x),\ g(x)$ は次の関係を満足する. \begin{align*} f(x) + g(x) = 2e^x \cos x,\quad f(x) - g(x) = 2e^x \sin x \end{align*} このとき,次の問に答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $f'(x)$ を求めよ. また,$f(0) = 0$ となる条件のもとで $f(x)$ を求めよ. \item  $g'(x)$ を求め, $g''(x) - 2g'(x) + 2g(x)$ を $g(0)$ を用いて表せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item \hspace{2.55zw}% $f'(x) + g'(x) = 2e^x \cos x$ \hfill$\cdott\MARU{1}$ %\vskip 0.2zw \hspace{2.55zw}% $f'(x) - g'(x) = 2e^x \sin x$ \hfill$\cdott\MARU{2}$ \vskip 0.5zw \noindent とおく. $\MARU{1} + \MARU{2}$から \begin{gather*} 2f'(x) = 2e^x \cos x + 2e^x \sin x \\ \therefore \enskip \textcolor{red}{\boldsymbol{f'(x)=e^x(\cos x+\sin x)}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} $\displaystyle I = \int e^x \cos x\,dx,\enskip J = \int e^x \sin x \,dx$ とおくと, \begin{gather*} I = \int (e^x)' \cos x\,dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \,dx \\ \therefore \enskip I - J = e^x \cos x \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \\ J = \int e^x \sin x\,dx = \int (e^x)' \sin x \,dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x\,dx \\ \therefore \enskip I + J = e^x \sin x \tag*{$\cdott\MARU{4}$} \end{gather*} %ただし,積分定数は省略した. \MARU{3},\enskip\MARU{4}から \begin{align*} I = \frac{1}{2}e^x (\sin x + \cos x) + C_1,\quad J = \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C_2 \end{align*} ここで $C_1,\ C_2$ は定数. したがって %$I,\,\,J$ の値および $f'(x)$ から \begin{align*} f(x) &= \int (e^x \cos x+ e^x \sin x)\,dx \\ &= J + I = \frac{1}{2}\,e^x (\sin x+\cos x) +\frac{1}{2}\,e^x (\sin x-\cos x) +C \\ &= e^x \sin x+C \tag*{$\cdott\MARU{5}$} \quad (Cは積分定数) \end{align*} \MARU{5}の両辺に $x = 0$ を代入し, $f(0) = 0$ を用いると $C = 0$ を得るから, \begin{align*} \textcolor{red}{\boldsymbol{ f(x) = e^x \sin x }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $\MARU{1} - \MARU{2}$から \begin{gather*} 2g'(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x \\ \therefore \enskip g'(x) = e^x \cos x - \sin x \tag*{$\cdott\MARU{6}$} \\ g''(x) = e^x \cos x - e^x \sin x - e^x \sin x + e^x \cos x \\ \therefore \enskip g''(x) = -2e^x \sin x \tag*{$\cdott\MARU{7}$} \end{gather*} $I,\ J$ の計算結果から \begin{align*} g(x) &= \int (e^x \cos x - e^x \sin x)\,dx \\ &= I - J = \frac{1}{2}e^x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}e^x (\sin x - \cos x) + C' \\ &= e^x \cos x + C' \quad (C'\,は積分定数) \tag*{$\cdott\MARU{8}$} \end{align*} \MARU{8}の両辺に $x = 0$ を代入して \begin{align*} g(0) = e^0 \cos 0 + C' \qquad \therefore \enskip C' = g(0) - 1 \end{align*} したがって \begin{align*} g(x) = e^x \cos x + g(0) - 1 \tag*{$\cdott\MARU{9}$} \end{align*} \MARU{6},\enskip\MARU{7},\enskip\MARU{9}より \begin{gather*} g''(x) - 2g'(x) + 2g(x) \\ = -2e^x \sin x - 2(e^x \cos x - e^x \sin x) + 2(e^x \cos x + g(0) - 1) \\ = \textcolor{red}{\boldsymbol{2g(0) - 2}} \tag*{$\Ans$} \end{gather*} \end{enumerate} \end{document}