秋田大学 前期(医学部) 2000年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 秋田大学
学科・方式 前期(医学部)
年度 2000年度
問No 問3
学部 医学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  次の問いに答えよ. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  関数 $f(t)$ の導関数 $f'(t)$ が微分可能であるとし, \[ F(x) = f(\log(x+1))\,\,\,(x > -1) \] とおく. このとき,$F(x)$ の第2次導関数 $F''(x)$ を求めよ. \item  $a,\ b$ を定数とし, $a < b$ とする. 関数 $g(x)$ の第2次導関数 $g''(x)$ は連続であるとし, $g''(x) < 0,\,\,\,g(a) = g(b) = 0$ が成り立つとする. このとき,区間$[a,\ b]$において, $g(x) \geqq 0$ であることを示せ. \item  関数 $h(t)$ の導関数を $h'(t)$, 第2次導関数を $h''(t)$ で表し, $h''(t)$ は連続であるとする. $h(0) = 0,\,\,\,h'(t) > h''(t)$ が成り立つとする. さらに,$t \geqq 0$ のとき, $h(t) \geqq 0$ であるとする. このとき,$x \geqq 2$ ならば % \[ \displaystyle h(\log(x+1)) \leqq \int_0^x h(\log(s+1))\,ds \] が成り立つことを示せ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $F(x) = f(\log(x+1))$ より \begin{align*} F'(x) &= f'(\log(x+1)) \cdot \frac{1}{x+1} \\[1mm] F''(x) &= f''(\log(x+1))\!\left(\frac{1}{x+1} \right)^{\!\! 2} + f'(\log(x+1)) \cdot \left\{-\frac{1}{(x+1)^2} \right\} \\[1mm] &= \textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{f''(\log(x+1)) - f'(\log(x+1))}{(x+1)^2} }} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \item  $g''(x) < 0$ より $g'(x)$ は単調減少関数である.  $g'(a) \leqq 0$ ならば $g'(x) \leqq g'(a) \leqq 0\,\,\, (等号は\>x=a\>でのみ成立)$ だから $g(x)$ も単調減少関数. よって $0 = g(a) > g(b) = 0$ となり不合理.  $g'(b) \geqq 0$ ならば % $g'(x) \leqq g'(b) \geqq 0\,\,\,(等号は\>x = b\>でのみ成立)$ より % $g(x)$ は単調増加関数. よって $0 = g(a) < g(b) = 0$ となり不合理. \vskip 0.4zw \begin{minipage}{260pt}  ゆえに $g'(a) > 0 > g'(b)$. $g'(x)$ は単調増加関数であったから $g'(\alpha) = 0,\enskip a < \alpha < b$ をみたす実数がただ1つだけ存在する. よって $g(x)$ の増減表は右のようになる. \end{minipage} \begin{minipage}{180pt} \begin{align*} \hspace*{-1.5zw} \resizebox{!}{2.2zw}{$% \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \alpha & a & \cdots & \alpha & \cdots & b \\ \hline g'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline g(x) & 0 & \nearrow & 最大 & \searrow & 0 \end{array}$} \end{align*} \end{minipage} \vskip 0.5zw  ゆえに $x \in [a,\ b]$ に対して $g(x) \geqq 0$ である. \hfill ■ \medskip \item  $1 = \displaystyle\frac{1}{x}\int_0^x 1\,ds = \int_0^x \frac{1}{x}\,ds$ % より, \begin{gather*} \int_0^x h(\log(s+1))\,ds - h(\log(x+1)) \\[1mm] = \int_0^x h(\log(s+1))\,ds - \int_0^x \frac{1}{x}h(\log(x+1))\,ds \displaybreak[0] \\[1mm] = \int_0^x \left\{ h(\log(s+1)) - \frac{1}{x}h(\log(x+1)) \right\}ds \tag*{$\cdott\MARU{3}$} \end{gather*} $H_1(s) = h(\log(s+1)) - \dfrac{1}{x}h(\log(x+1))$ とおくと, \begin{gather*} {H_1}'(s) = \frac{h'(\log(s+1))}{s+1} \\[1mm] \therefore \enskip {H_1}''(s) = \frac{h''(\log(s+1)) - h'(\log(s+1))}{(s+1)^2} < 0 \quad (\,\because \,\,\,h'(t) > h''(t)) \end{gather*} 2点$(0,\ H_1(0)),\enskip(x,\ H_1(x))$を通る直線 $l$ の式は, \begin{gather*} y = \frac{H_1(x) - H_1(0)}{x}s - H_1(0) \\[1mm] \therefore \enskip y = \frac{h(\log(x+1))}{x}s - \frac{h(\log(x+1))}{x} \end{gather*} ここで \\ \begin{minipage}{260pt} \begin{align*} H_2(s) &= H_1(s) - \big(lの式 \big) \\ &= h(\log(s+1)) - \frac{1}{x}h(\log(x+1)) \\[1mm] &\qquad{} - \left\{\frac{h(\log(x+1))}{x}s - \frac{h(\log(x+1))}{x} \right\} \\[1mm] &= h(\log(s+1)) - \frac{h(\log(x+1))}{x}s \end{align*} とおくと, \begin{align*} H_2(0) = H_2(x) = 0,\quad {H_2}''(s) = {H_1}''(s) < 0 \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}{180pt} \hspace*{1.5zw}\resizebox{!}{10zw}{ %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 14.3000, 17.6000)( 8.0000,-22.0000) % VECTOR 2 0 3 0 % 2 800 1800 2200 1800 % \special{pn 8}% \special{pa 800 1800}% \special{pa 2200 1800}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 2200 1800}% \special{pa 2134 1780}% \special{pa 2148 1800}% \special{pa 2134 1820}% \special{pa 2200 1800}% \special{fp}% % VECTOR 2 0 3 0 % 2 1000 2200 1000 600 % \special{pn 8}% \special{pa 1000 2200}% \special{pa 1000 600}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 1000 600}% \special{pa 980 668}% \special{pa 1000 654}% \special{pa 1020 668}% \special{pa 1000 600}% \special{fp}% % SPLINE 1 0 3 0 % 4 1000 2080 1200 1400 1600 1000 2000 880 % \special{pn 13}% \special{pa 1000 2080}% \special{pa 1006 2048}% \special{pa 1012 2016}% \special{pa 1018 1984}% \special{pa 1024 1952}% \special{pa 1030 1922}% \special{pa 1036 1890}% \special{pa 1042 1858}% \special{pa 1050 1826}% \special{pa 1056 1794}% \special{pa 1064 1764}% \special{pa 1072 1732}% \special{pa 1080 1702}% \special{pa 1090 1670}% \special{pa 1098 1640}% \special{pa 1108 1610}% \special{pa 1120 1580}% \special{pa 1130 1550}% \special{pa 1142 1520}% \special{pa 1156 1490}% \special{pa 1168 1462}% \special{pa 1182 1434}% \special{pa 1198 1404}% \special{pa 1214 1376}% \special{pa 1232 1348}% \special{pa 1248 1322}% \special{pa 1268 1294}% \special{pa 1288 1268}% \special{pa 1308 1242}% \special{pa 1328 1218}% \special{pa 1350 1194}% \special{pa 1372 1170}% \special{pa 1396 1148}% \special{pa 1420 1126}% \special{pa 1444 1104}% \special{pa 1470 1084}% \special{pa 1496 1064}% \special{pa 1522 1046}% \special{pa 1550 1028}% \special{pa 1578 1012}% \special{pa 1606 998}% \special{pa 1634 984}% \special{pa 1664 972}% \special{pa 1692 960}% \special{pa 1722 950}% \special{pa 1754 940}% \special{pa 1784 930}% \special{pa 1816 922}% \special{pa 1846 914}% \special{pa 1878 906}% \special{pa 1910 900}% \special{pa 1940 892}% \special{pa 1972 886}% \special{pa 2000 880}% \special{sp}% % LINE 1 0 3 0 % 2 900 2200 2200 640 % \special{pn 13}% \special{pa 900 2200}% \special{pa 2200 640}% \special{fp}% % LINE 3 0 3 0 % 2 2000 1800 2000 880 % \special{pn 4}% \special{pa 2000 1800}% \special{pa 2000 880}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 1960 1830 1960 1930 2 0 % $x$ \put(19.6000,-19.3000){\makebox(0,0)[lb]{$x$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2230 1740 2230 1840 2 0 % $s$ \put(22.3000,-18.4000){\makebox(0,0)[lb]{$s$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1050 600 1050 700 2 0 % $y$ \put(10.5000,-7.0000){\makebox(0,0)[lb]{$y$}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2230 510 2230 610 2 0 % {\footnotesize$l$} \put(22.3000,-6.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize$l$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 2050 910 2050 1010 2 0 % \resizebox{!}{1.9mm}{$(x,\,H_1(0))$} \put(20.5000,-10.1000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{1.9mm}{$(x,\,H_1(0))$}}}% % DOT 0 0 3 0 % 1 2000 880 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 2000 880 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 1000 2080 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 1000 2080 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 1240 760 1240 860 2 0 % {\scriptsize$y = H_1(s)$} \put(12.4000,-8.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$y = H_1(s)$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 860 1840 860 1940 2 0 % {\small O} \put(8.6000,-19.4000){\makebox(0,0)[lb]{{\small O}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1030 2070 1030 2170 2 0 % {\scriptsize$H_1(0)$} \put(10.3000,-21.7000){\makebox(0,0)[lb]{{\scriptsize$H_1(0)$}}}% \end{picture}% %\input{akita2000m3f_zu_1} } \end{minipage} \vskip 0.5zw だから $x = s,\enskip a = 0,\enskip b = x,\enskip g(s) = H_2(s)$ と して(2)の結果を用いることができる. その結果 $0 \leqq s \leqq x$ において $H_2(s) \geqq 0$ が成り立つ. ゆえに, \begin{gather*} \int_0^x H_2(s)\,ds \geqq 0 \\[1mm] \qquad \int_0^x \left\{h(\log(s+1)) - \frac{h(\log(x+1))}{x}s \right\} ds \geqq 0 \\[1mm] \qquad \int_0^x h(\log(s+1))\,ds \geqq \frac{h(\log(x+1))}{x}\int_0^x s\,ds \\[1mm] \therefore \enskip \int_0^x h(\log(s+1))\,ds \geqq \frac{h(\log(x+1))}{x} \cdot \frac{1}{2}x^2 = h(\log(x+1)) \cdot \frac{1}{2}x \end{gather*} $x \geqq 2$ の仮定より $\dfrac{x}{2} \geqq 1$ だから \begin{align*} \int_0^x h(\log(s+1))\,ds \geqq h(\log(x+1)) \tag*{■} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}