大阪大学 前期理系 2012年度 問3

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 前期理系
年度 2012年度
問No 問3
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,dvipdfmx]{jreport} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{vector3} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \def\Op{{\mathrm{O}}} \def\LLL{{\lll}} \def\RRR{{\rrr}} \def\LL{{\ll}} \def\RR{{\rr}} \usepackage{graphicx} \usepackage{pifont} \usepackage{fancybox} \usepackage{custom_mori} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} \begin{FRAME}  $xyz$空間に3点$\Op(0,\ 0,\ 0),\enskip \A(1,\ 0,\ 1),\enskip \B(0,\ \sqrt{\vphantom{b} 3},\ 1)$がある. 平面 $z = 0$ に含まれ, 中心がO, 半径が1の円を $W$ とする.\smallskip 点Pが線分OA上を,\\ 点Qが円 $W$ の周および内部を動くとき, $\OR = \OP + \OQ$ をみたす点R全体がつくる立体を $V_A$ とおく.\smallskip 同様に点Pが線分OB上を, 点Qが円 $W$ の周および内部を動くとき, $\OR = \OP + \OQ$ をみたす点R全体がつくる立体を $V_B$ とおく. さらに $V_A$ と $V_B$ の重なり合う部分を $V$ とする. このとき,以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item[(1)]  平面 \smallskip$z = \cos\theta \enskip\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ による立体 $V$ の切り口の面積を $\theta$ を用いて表せ. \item[(2)]  立体 $V$ の体積を求めよ. \end{enumerate} \end{FRAME} \vskip 2mm \noindent{\color[named]{BurntOrange}\bfseries \Ovalbox{解答}} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  Qは $W$ の周および内部を動くから $\OQ = (u,\ v,\ 0),\enskip u^2 + v^2 \leqq 1$ とおける.\smallskip  Pが線分OA上を動くとき $\OP = s(1,\ 0,\ 1) \enskip(0 \leqq s \leqq 1)$ と おけるから \begin{align*} \OR = s(1,\ 0,\ 1) + (u,\ v,\ 0) = (u + s,\ v,\ s) \end{align*} Rが $z = \cos\theta$ 上にあるとき $s = \cos\theta$ だから, \begin{align*} \OR = (u + \cos\theta,\ v,\ \cos\theta) \end{align*} ゆえにRは $z = \cos\theta$ 上の \begin{align*} 中心{\Op}_A(\cos\theta,\ 0,\ \cos\theta), 半径1の円の周および内部 \tag*{$\cdott\MARU{1}$} \end{align*} を動く.\smallskip  同様に,Pが線分OB上を動くとき $\OP = t(0,\ \sqrt{\vphantom{b} 3},\ 1) \enskip(0 \leqq t \leqq 1)$ と おけるから \begin{align*} \OR = t(0,\ \sqrt{\vphantom{b} 3},\ 1) + (u,\ v,\ 0) = (u,\ v + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,t,\ t) \end{align*} Rが $z = \cos\theta$ 上にあるとき $t = \cos\theta$ だから, \begin{align*} \OR = (u,\ v + \sqrt{\vphantom{b} 3}\,\cos\theta,\ \cos\theta) \end{align*} ゆえにRは $z = \cos\theta$ 上の \begin{align*} 中心{\Op}_B(0,\ \sqrt{\vphantom{b} 3}\cos\theta,\ \cos\theta), 半径1の円の周および内部 \tag*{$\cdots\cdotssp\MARU{2}$} \end{align*} を動く.  したがって, $z = \cos\theta$ による $V$ の 切り口は\{\MARU{1}かつ\MARU{2}\}で与えられ, 下図の斜線部分のようになる. ただし,${\Op}_\theta = (0,\ 0,\ \cos\theta)$ である. \begin{center} %WinTpicVersion3.08 \unitlength 0.1in \begin{picture}( 41.2000, 22.2300)( 10.0000,-25.5300) % LINE 0 0 3 0 % 2 2013 1798 1645 1162 % \special{pn 20}% \special{pa 2014 1798}% \special{pa 1646 1162}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 2189 1273 2013 1798 % \special{pn 8}% \special{pa 2190 1274}% \special{pa 2014 1798}% \special{fp}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1613 1370 1747 1946 2300 2098 2608 1780 % \special{pn 4}% \special{ar 1614 1370 592 592 0.3908598 0.8143653}% % CIRCLE 3 0 3 0 % 4 1613 1370 1696 1955 2876 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1970 1960 2 0 % {\footnotesize ${\mathrm{O}}_A$} \put(19.7000,-19.6000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize ${\mathrm{O}}_A$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 1680 1860 1680 1950 2 0 % {\footnotesize ${\Op}_\theta$} \put(16.8000,-19.5000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize ${\Op}_\theta$}}}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1000 1797 2935 1797 % \special{pn 8}% \special{pa 1000 1798}% \special{pa 2936 1798}% \special{fp}% % LINE 2 0 3 0 % 2 1648 2553 1648 330 % \special{pn 8}% \special{pa 1648 2554}% \special{pa 1648 330}% \special{fp}% % DOT 0 0 3 0 % 1 3870 1470 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 3870 1470 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % DOT 0 0 3 0 % 1 5044 1468 % \special{pn 20}% \special{sh 1}% \special{ar 5044 1468 10 10 0 6.28318530717959E+0000}% % STR 2 0 3 0 % 3 3610 1432 3610 1506 2 0 % {\footnotesize ${\mathrm{O}}_B$} \put(36.1000,-15.0600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize ${\mathrm{O}}_B$}}}% % LINE 2 0 3 0 % 2 4462 2128 4462 801 % \special{pn 8}% \special{pa 4462 2128}% \special{pa 4462 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\put(44.2000,-23.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize D}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 5120 1442 5120 1516 2 0 % {\footnotesize ${\mathrm{O}}_A$} \put(51.2000,-15.1600){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize ${\mathrm{O}}_A$}}}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 5048 1466 5048 2346 5048 -302 5048 3258 % \special{pn 8}% \special{ar 5048 1466 880 880 1.5707963 4.7123890}% % CIRCLE 2 0 3 0 % 4 3872 1466 3872 2346 3872 2906 3872 186 % \special{pn 8}% \special{ar 3872 1466 880 880 4.7123890 6.2831853}% \special{ar 3872 1466 880 880 0.0000000 1.5707963}% % LINE 0 0 3 0 % 2 5048 1466 4464 818 % \special{pn 20}% \special{pa 5048 1466}% \special{pa 4464 818}% \special{fp}% % LINE 0 0 3 0 % 2 4464 1466 4464 818 % \special{pn 20}% \special{pa 4464 1466}% \special{pa 4464 818}% \special{fp}% % POLYLINE 0 0 3 0 % 4 4464 1338 4592 1338 4592 1466 4592 1466 % \special{pn 20}% \special{pa 4464 1338}% \special{pa 4592 1338}% \special{pa 4592 1466}% \special{pa 4592 1466}% \special{fp}% % STR 2 0 3 0 % 3 4770 1876 4770 1950 2 0 % \resizebox{!}{1.8mm}{$\cos\theta$} \put(47.7000,-19.5000){\makebox(0,0)[lb]{\resizebox{!}{1.8mm}{$\cos\theta$}}}% % STR 2 0 3 0 % 3 4300 1535 4300 1610 2 0 % {\footnotesize M} \put(43.0000,-16.1000){\makebox(0,0)[lb]{{\footnotesize M}}}% % LINE 2 0 3 0 % 2 5040 1466 3870 1466 % \special{pn 8}% \special{pa 5040 1466}% \special{pa 3870 1466}% \special{fp}% % LINE 3 0 3 0 % 2 5050 1468 5050 1923 % \special{pn 4}% \special{pa 5050 1468}% \special{pa 5050 1924}% \special{fp}% % VECTOR 3 0 3 0 % 2 4840 1828 4460 1828 % \special{pn 4}% \special{pa 4840 1828}% \special{pa 4460 1828}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 4460 1828}% \special{pa 4528 1848}% \special{pa 4514 1828}% \special{pa 4528 1808}% \special{pa 4460 1828}% \special{fp}% % VECTOR 3 0 3 0 % 2 4840 1828 5050 1828 % \special{pn 4}% \special{pa 4840 1828}% \special{pa 5050 1828}% \special{fp}% \special{sh 1}% \special{pa 5050 1828}% \special{pa 4984 1808}% \special{pa 4998 1828}% \special{pa 4984 1848}% \special{pa 5050 1828}% \special{fp}% \end{picture}% %\input{osaka2012s3f_zu_5} \end{center}  上図のようにC,\enskip Dをとり, 弦CDの中点をMとする.\smallskip  \MARU{1},\enskip\MARU{2}は弦CDに関して対称だから ${\Op}_A\M = \dfrac{1}{2}{\Op}_A{\Op}_B = \cos\theta$. \smallskip  $\triangle{\Op}_A\C\M$は直角二等辺三角形であり ${\Op}_A\C = 1$ より % $\angle\C{\Op}_A\M = \theta$. $\angle\D{\Op}_A\M = \angle\C{\Op}_A\M$ だから % $\angle\C{\Op}_A\D = 2\theta$.  切り口は弦CDに関して対称な図形だから, その面積 $S$ は \begin{align*} S = 2\!\left(\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 2\theta - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \sin 2\theta \right) = \textcolor{red}{\boldsymbol{2\theta - \sin 2\theta}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} %\newpage \item  立体 $V$ の体積は $\displaystyle\int_0^1 S\,dz$ で与えられる. \medskip  $z = \cos\theta$ より % \resizebox{!}{1.5zw}{$ \begin{array}{c|ccc} z & 0 & \to & 1 \\ \hline \theta & \pi \slash 2 & \to & 0 \end{array} $} および $dz = -\sin\theta\,d\theta$ から \begin{align*} \int_0^1 S\,dz &= \int_\frac{\pi}{2}^0 (2\theta - \sin 2\theta)(-\sin\theta)\,d\theta \\[1mm] &= \int_0^\frac{\pi}{2} \{2\theta(-\cos\theta)' - 2\sin^2\theta\cos\theta \}\,d\theta \\[1mm] &= \LLL {-2}\theta\cos\theta - \frac{2}{3}\sin^3\theta \RRR_0^\frac{\pi}{2} + 2\int_0^\frac{\pi}{2} \cos\theta\,d\theta \\[1mm] &= -\frac{2}{3} + 2\LL \sin\theta \RR_0^\frac{\pi}{2} = \textcolor{red}{\boldsymbol{\frac{4}{3}}} \tag*{$\Ans$} \end{align*} \end{enumerate} \end{document}