北海道大学 前期文系 2016年度 問4

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解答作成者: とるえん

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入試情報

大学名 北海道大学
学科・方式 前期文系
年度 2016年度
問No 問4
学部 文 ・ 教育 ・ 法 ・ 経済
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath} \usepackage{color} \usepackage{latexsym} \begin{document} \fbox{\Large{北海道大学 2016年 前期 第4問}} \normalsize \ (1) \ $\dfrac{3x}{x^2+2}$が自然数であるとき、$3x \ge x^2+2$ が必要であるからこれを解いて$x=1,\ 2$を得る。 $x=1,\ 2$のとき、$\dfrac{3x}{x^2+2}$は自然数となるから適する。ゆえに求める$x$は $$x= \color{red} 1,\ 2 \color{black} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$ である。 \ \ \flushright (次のページへ続く) \newpage \flushleft (2) \ $\dfrac{3x}{x^2+2}$が自然数のときは$\dfrac{1}{y}$が自然数であればよいから$(x,\ y)=(1,\ 1),(2,\ 1)$は求める組である。 \ 次に$\dfrac{3x}{x^2+2}<1$のときを考える。このとき$\dfrac{1}{y}$は自然数でないから、$(0<) \ \dfrac{1}{y} \le \dfrac{1}{2} \ \ \cdots \cdots (*)$となる。 \ 故に$\dfrac{3x}{x^2+2}+\dfrac{1}{y}$が自然数となるためには$$\dfrac{1}{2} \le \dfrac{3x}{x^2+2}<1$$が必要であるから、これを解いて$x=3,\ 4,\ 5$を得る。 \ $x=3$のとき$\dfrac{3x}{x^2+2}=\dfrac{9}{11}$および$(*)$より、$\dfrac{9}{11} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{9}{11}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{19}{22}$であるから、$\dfrac{9}{11}+\dfrac{1}{y}=1$となる。 これを$y$について解くと$y=\dfrac{11}{2}$を得るが、自然数でないので不適。 \ $x=4$のとき$\dfrac{3x}{x^2+2}=\dfrac{2}{3}$および$(*)$より、$\dfrac{2}{3} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{7}{6}$であるから、$\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{y}=1$となる。 これを$y$について解くと$y=3$を得る。 \ $x=5$のとき$\dfrac{3x}{x^2+2}=\dfrac{5}{9}$および$(*)$より、$\dfrac{5}{9} \le \dfrac{1}{y} \le \dfrac{19}{18}$であるから、$\dfrac{5}{9}+\dfrac{1}{y}=1$となる。 これを$y$について解くと$y=\dfrac{9}{4}$を得るが、自然数でないので不適。 \ \ 以上より、$\dfrac{3x}{x^2+2}+\dfrac{1}{y}$が自然数であるような組$(x,\ y)$は $$(x,\ y)= \color{red} (1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (4,\ 3) \color{black} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$ である。 \ \ ※解説は次のページ \newpage  北大前期としては珍しく、整数分野からの出題となりました。分数タイプの整数問題にはいくつかパターンがあるので、類題の経験があるだけでもかなりのアドバンテージになります。 本問のように「分数式=整数」になるような数を見つける問題においては(分子)$\ge$(分母)という必要条件が効いてきます。  中には通分して式変形した人もいるかもしれませんが、通分するとかえって式が煩雑になり、方針が立てにくくなってしまいます。 そういった意味では第一手で運命が変わるコワい問題とも言えますが、十分に訓練してきた受験生であれば、簡単な問題だと感じるはずです。  整数問題の対策に手頃な良問です。 \  理系で整数の出題が無かったことから恐らくこの問題は「様子見」でしょうが、来年以降は理系数学でも整数対策が必要になってくると思われます。 \end{document}