一橋大学 前期 1997年度 問1

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解答作成者: とるえん

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入試情報

大学名 一橋大学
学科・方式 前期
年度 1997年度
問No 問1
学部 商 ・ 経済 ・ 法 ・ 社会
カテゴリ 数と式 ・ 数列
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath} \usepackage{color} \usepackage{latexsym} \begin{document} \Large{一橋大学 1997年 前期 第1問} \normalsize \ $\fbox{すべての正の整数$n$に対して$5^n+an+b$が16の倍数となるような16以下の正の整数$a,\ b$を求めよ。}$ \ 《解答例》 \ $n=1,2$に対して題意を満たす$a,\ b$を調べる。代入すると $$a+b+5, \ 2a+b+25$$ を得る。これらは16の倍数でなければならないから、その差である$a+20$も16の倍数でなければならない。 $0<a\le16$の下で求めると、そのような$a$は$12$のみである。故に$a=12$が必要である。 よって$a+b+5$、即ち$b+17$が16の倍数となるような$b$を$0<b\le16$の下で求めると、そのような$b$は$15$のみである。 以上より、$(a,b)=(12,15)$が必要である。 \ 次に $5^n+12n+15$ がすべての正の整数$n$に対して16の倍数となることを示す。 \ $a_n=5^n+12n+15$と置けば$n \ge 2$に対して$$a_n-5a_{n-1}=-48n$$ となるから、$a_n-5a_{n-1}$は常に16の倍数である。 いま、$a_1=32$であり、これは16の倍数であるから、漸化式$$a_n=5a_{n-1}-48n$$により、帰納的に$a_n$が16の倍数であることが言える。 \ 故に$(a,b)=(12,15)$は必要十分である。 \ したがって求める正の整数$a,\ b$の組は $$ (a,b)= \color{red} (12,15) \color{black} $$ である。 \flushright (解答終わり) \ ※解説は次のページ \newpage \flushleft  本問は「必要条件から攻める」という整数問題の基本を体現した問題です。イマイチできなかったという人はこれを機に体得して下さい。「すべての正の整数$n$に対して○○が成り立つ」のような命題を見たらまず、小さい$n$で実験してみるのが鉄則です。これは別に一橋大学の問題だから言えるという訳ではなく、整数問題すべてに言えることです。特に本問のような全称的な命題でかつ数列の絡んだ問題は、まず小さい$n$で必要条件を求めてから解答に取り掛かりましょう。 \  解答例では「必要性の証明」と「十分性の証明」を分けて示しています。後半での「十分性の証明」では漸化式ではなく数学的帰納法を用いても解答できますが、記述量が多めになってしまうので、時間節約のためにも直接証明した方がよさそうです。  $a_n-5a_{n-1}$という式がいきなり出てきてビックリした人もいるかもしれませんが、漸化式を導く際に$5^n$の部分が邪魔なので、$5a_{n-1}$に5を掛けて消去した、というのが種明かしです。漸化式を立てたらたまたま16の倍数が出てきたのでそのまま証明に使いました。もし16の倍数が出てこなければさらに式変形していかなければなりません。 \  一橋大学の整数問題はどれも素晴らしい出来ですが、この年の問題は特に教育的な価値のある出題でした。 \end{document}