横浜国立大学 前期(工) 2000年度 問1

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解答作成者: とるえん

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入試情報

大学名 横浜国立大学
学科・方式 前期(工)
年度 2000年度
問No 問1
学部 工学部
カテゴリ 積分法
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{amsmath} \usepackage{color} \usepackage{latexsym} \begin{document} \Large{横浜国立大学 2000年 前期 工学部 第1問} \normalsize \ (1) \ $\displaystyle \int^{\frac{3}{4}\pi}_{\frac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{\sin x}=\int^{\frac{3}{4}\pi}_{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x }{1-\cos^2 x}dx$ \ ここで$\cos x=t$とおくと、与式は \ $\displaystyle -\int^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \dfrac{dt}{1-t^2}$ $\displaystyle = 2\int^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{0} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{1-t}\right) dt $ $=\left[ \log |\dfrac{1+t}{1-t}| \right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{0} $ $=$ \color{red} $2\log(\sqrt{2}+1)$ \color{black} \ と求められる。 \flushright (次のページへ続く) \newpage \flushleft (2) \ $\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} x \sin^3 x \ dx$ $= \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} x \left(\dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x \right) dx$ $= \displaystyle \left[\dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{36}\sin 3x \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}$ $=$ \color{red} $\dfrac{7}{9}$ \color{black} \ ※途中計算で部分積分法を用いた。 \ \ \ \ \ \ 特に解説は不要かもしれませんが、基本的な置換積分、部分積分の手法はマスターしておくべきでしょう。 \end{document}