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解答作成者: とるえん
入試情報
大学名 |
横浜国立大学 |
学科・方式 |
前期(工) |
年度 |
2000年度 |
問No |
問1 |
学部 |
工学部
|
カテゴリ |
積分法
|
状態 |
 |
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\usepackage{color}
\usepackage{latexsym}
\begin{document}
\Large{横浜国立大学 2000年 前期 工学部 第1問}
\normalsize
\
(1)
\
$\displaystyle \int^{\frac{3}{4}\pi}_{\frac{\pi}{4}} \dfrac{dx}{\sin x}=\int^{\frac{3}{4}\pi}_{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin x }{1-\cos^2 x}dx$
\
ここで$\cos x=t$とおくと、与式は
\
$\displaystyle -\int^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \dfrac{dt}{1-t^2}$
$\displaystyle = 2\int^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{0} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{1-t}\right) dt $
$=\left[ \log |\dfrac{1+t}{1-t}| \right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}}_{0} $
$=$
\color{red}
$2\log(\sqrt{2}+1)$
\color{black}
\
と求められる。
\flushright (次のページへ続く)
\newpage
\flushleft
(2)
\
$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} x \sin^3 x \ dx$
$= \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} x \left(\dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x \right) dx$
$= \displaystyle \left[\dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{36}\sin 3x \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}$
$=$
\color{red}
$\dfrac{7}{9}$
\color{black}
\
※途中計算で部分積分法を用いた。
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特に解説は不要かもしれませんが、基本的な置換積分、部分積分の手法はマスターしておくべきでしょう。
\end{document}