室蘭工業大学 前期 2016年度 問3

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解答作成者: とるえん

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入試情報

大学名 室蘭工業大学
学科・方式 前期
年度 2016年度
問No 問3
学部 工学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説 ウォッチリスト

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\documentclass{jsarticle} \usepackage{color} \usepackage{latexsym} \begin{document} \Large{室蘭工業大学 2016年 第3問 解答例} \normalsize \ (1) 仮定より、$a-b=mp$、$b-c=mq$とおける。ただし$p,\ q$は整数である。これより、 $$a-c=(a-b)+(b-c)=mp+mq=m(p+q)$$ となる。$p+q$は整数であるから$a-c$も$m$の倍数である。 \flushright $\Box$ \flushleft \ \ (2)  $n=1$のとき、$a^n-b^n$は$a-b$の倍数である。$n=k$のとき、$a^n-b^n$が$a-b$の倍数であると仮定する。ただし$k$は2以上の自然数である。  $n=k+1$のとき、与等式より $$a^{k+1}-b^{k+1}=a^k (a-b)+b(a^k-b^k)$$ となるが、仮定より$a^k-b^k$は$a-b$の倍数であるから左辺$a^{k+1}-b^{k+1}$も$a-b$の倍数である。したがって$n=k+1$のときも成立する。  以上から、数学的帰納法により、すべての自然数$n$について$a^n-b^n$が$a-b$の倍数であることが示された。 \flushright $\Box$ \ \ \flushright (次のページへ続く) \newpage \flushleft (3) $ 2016= \color{red} 2^5・3^2・7 \color{black} $ である。  ここで$a=128(=2^7),\ b=1,\ n=288(=2^5・3^2)$として(2)の結果を利用すると、 $128^{288}-1^{288}$は$128-1$、即ち$127$の倍数であるから、ある整数$N$を用いて $$128^{288}-1^{288}=127・N$$とおける。$128^{288}=2^{7・288}=2^{2016}$であるから、$$2^{2016}=127N+1$$と式変形できる。よって$2^{2016}を127$で割った余りは \color{red} $$1 $$ \color{black} である。 \ \ ※解説は次のページ \newpage  室工にしては珍しく整数分野からの(しかも小洒落た)出題になりました。(2)までは簡単な誘導設問になっており、それなりに論証に慣れていれば問題なく完答できるでしょう。問題は(3)ですが、解答例のような答案を書けた受験生はそれほど多くはないと思われます。本年のこの大学の受験生で整数をかっちり固めてきた人はそう多くはないでしょうから、数学が得意な受験生にとってはボーナス問題となったことでしょう。  実際、解答例でやっていることはmod演算と同じことですが、(3)だけ単独で出されれば以下のように解くのが普通です((3)だけ単体で出題されてもおかしくはありません)。 \ $$ 2^{2016}=(2^7)^{288}=128^{288}=(127+1)^{288} \equiv 1 \ \ (mod \ 127) $$ \  この他にも二項定理を利用するなどの方法がありますが、そこまで仰々しく解くような問題ではないでしょう。  整数分野が本格的に教科書で扱われるようになったためか、以前に比べ多くの大学で整数問題が出題されるようになった印象があります。来年以降も出題される可能性は十分にあるので、受験生の皆さんは対策を怠らぬよう。 \end{document}